Modelo de poblaciones

Aplicamos la diagonalización al estudio de un modelo de poblaciones.

Enunciado
Una ciudad $A$ es de tránsito, estimándose que de los habitantes que tiene al principio de cada año, al final del mismo han emigrado $2/3$ a una cierta región geográfica $B$ y $1/3$ a otra región $C.$ Por otra parte y durante ese mismo año, $1/3$ de la población de $B$ y $1/3$ de la población de $C$ se establece en $A.$ Calcular las poblaciones en régimen estacionario, es decir al final de $n$ años con $n\to \infty,$ sabiendo que en un determinado año las poblaciones de $A,B$ y $C$ eran respectivamente $60,200$ y $300.$

Solución
Denotemos $X_k=(x_{kA},x_{kB},x_{kC})^t$ siendo $x_{kA},x_{kB}$ y $x_{kC}$ las poblaciones de $A,B$ y $C$ respectivamente al principio del año $k.$ De los datos proporcionados:

$\left \{ \begin{matrix}x_{k+1,A}=-\frac{2}{3}x_{k,A}-\frac{1}{3}x_{k,A}+\frac{1}{3}x_{k,B}+\frac{1}{3}x_{k,C}+x_{k,A}\\x_{k+1,B}=\frac{2}{3}x_{k,A}-\frac{1}{3}x_{k,B}+x_{kB}\\x_{k+1,C}=\frac{1}{3}x_{k,A}-\frac{1}{3}x_{k,C}+x_{kC}.\end{matrix}\right. $

En forma matricial:

$\begin{bmatrix}{x_{k+1,A}}\\{x_{k+1,B}}\\{x_{k+1,C}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1/3}&{1/3}\\{2/3}&{2/3}&{0}\\{1/3}&{0}&{2/3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_{k,A}}\\{x_{k,B}}\\{x_{k,C}}\end{bmatrix}\mbox{ o bien } X_{k+1}=AX_k.$

Por tanto $X_{n}=AX_{n-1}=A^2X_{n-2}=A^3X_{n-3}=\ldots=A^{n}X_0.$ Llamemos

$M=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{2}&{2}&{0}\\{1}&{0}&{2}\end{bmatrix}.$

De $A=(1/3)M$ se deduce que $A^{n}=(1/3)^{n}M^n.$ Para hallar los autovalores de $M$ restamos en $|M-\lambda I|$ a la tercera columna la segunda y posteriormente sumamos a la segunda fila la tercera.

$\displaystyle\begin{aligned}
|M-\lambda I|&=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{1}&{1}\\{\;\;2}&{2-\lambda}&{0}\\{\;\;1}&{0}&{2-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{1}&{0}\\{\;\;2}&{2-\lambda}&{-2+\lambda}\\{\;\;1}&{0}&{\;\;2-\lambda}\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{1}&{0}\\{\;\;3}&{2-\lambda}&{0}\\{\;\;1}&{0}&{\;\;2-\lambda}\end{vmatrix}=(2-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-3)=0\\
&\Leftrightarrow \lambda=2\;\vee\;\lambda=3\;\vee\;\lambda=-1\mbox{ (simples).}
\end{aligned}$

Los respectivos autoespacios y una base de cada uno de ellos son :

$V_2 \equiv\left \{ \begin{matrix}-2x_1+x_2+x_3=0\\ 2x_1=0\\x_1=0\end{matrix}\right.\qquad B_{V_2}=\{(0.-1,1)^t\},$

$V_3 \equiv\left \{ \begin{matrix}-3x_1+x_2+x_3=0\\ 2x_1-x_2=0\\x_1-x_3=0\end{matrix}\right. \qquad B_{V_3}=\{(1,2,1)^t\},
$

$V_{-1} \equiv\left \{ \begin{matrix}x_1+x_2+x_3=0\\ 2x_1+3x_2=0\\x_1+3x_3=0\end{matrix}\right.\qquad B_{V_{-1}}=\{(-3,2,1)^t\}.$

La matriz $M$ es diagonalizable y una matriz $P$ tal que $P^{-1}MP=D=\mbox{diag }(2,3,-1)$ es:

$P=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{1}&{-3}\\{-1}&{2}&{\;\;2}\\{\;\;1}&{1}&{\;\;1}.\end{bmatrix}$

Aplicando la conocida fórmula de la potencia enésima de una matriz diagonalizable:

$X_n=A^nX_0=\dfrac{1}{3^n}M^nX_0=\dfrac{1}{3^n}PD^nP^{-1}X_0.$

Teniendo en cuenta que $P$ y $P^{-1}$ son constantes (no dependen de $n$):

$\displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{n \to \infty}X_n&=P\left(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{3^n}D^n\right)P^{-1}X_0\\
&=P\left(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\mbox{diag }((2/3)^n,1,(-1/3)^n\right)P^{-1}X_0\\
&=P\mbox{ diag }(0,1,0)\;P^{-1}X_0.
\end{aligned}$

Para el estado inicial $X_0=(60,200,300):$

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}X_n=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{1}&{-3}\\{-1}&{2}&{\;\;2}\\{\;\;1}&{1}&{\;\;1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\frac{1}{12}\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-4}&{8}\\{\;\;3}&{\;\;3}&{3}\\{-3}&{\;\;1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{60}\\{200}\\{300}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{140}\\{280}\\{140}\end{bmatrix}.
$

Es decir, cuando el tiempo aumenta la tendencia de las poblaciones de $A,B$ y $C$ son respectivamente $140,280$ y $140.$

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