Raíces en progresión

Determinamos las condiciones según las cuales un polinomio de tercer grado tiene raíces en progresión (aritmética o geométrica).

Enunciado
Se considera el polinomio de tercer grado $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in\mathbb{R}[x].$

1. (i) Hallar la condición que han de cumplir los coeficientes de $p(x)$ para que tenga tres raíces en progresión aritmética.
(ii) Usar los resultados obtenidos para resolver la ecuación $8x^3-12x^2-2x+3=0.$

2. (i) Hallar la condición que han de cumplir los coeficientes de $p(x)$ para que tenga tres raíces en progresión geométrica.
(ii) Usar los resultados obtenidos para resolver la ecuación $8x^3-42x^2+63x-27=0.$

Solución
1. (i) Las tres raíces del polinomio se pueden expresar en la forma $u-h,u,u+h.$ Usando las fórmulas de Cardano-Vieta:

$\left \{ \begin{matrix}u-h+u+u+h=-b/a\\(u-h)u+(u-h)(u+h)+u(u+h)=c/a\\(u-h)u(u+h)=-d/a.\end{matrix}\right.$

Simplificando obtenemos:

$\left \{ \begin{matrix}3u=-b/a\\3u^2-h^2=c/a\\u^3-uh^2=-d/a.\end{matrix}\right.$

De la primera ecuación obtenemos $u=-b/(3a).$ Sustituyendo en la segunda:

$h^2=3u^2-\dfrac{c}{a}=\dfrac{b^2}{3a^2}-\dfrac{c}{a}=\dfrac{b^2-3ac}{3a^2}.$

Sustituyendo en la tercera ecuación $u$ y $h^2$ por sus valores:

$-\dfrac{b^3}{27a^3}+\dfrac{b}{3a}\;\dfrac{b^2-3ac}{3a^2}=-\dfrac{d}{a}.$

Simplificando obtenemos la relación:

$27a^2d+b(2b^2-9ac)=0.$

(ii) Para $a=8,b=-12,c=-2,d=3$ se verifica $27a^2d+b(2b^2-9ac)=0.$ En este caso tenemos:

$u=-\dfrac{b}{3a}=\dfrac{1}{2}\;,\quad h=\sqrt{\dfrac{b^2-3ac}{3a^2}}=\pm 1.$

Para $h=1$ obtenemos $\{u-h,u,u+h\}=\{-1/2,1,3/2\}$ y para $h=-1,$ las mismas soluciones: $\{u-h,u,u+h\}=\{3/2,1,-1/2\}.$ Concluimos que las raíces del polinomio son $-1/2,1$ y $3/2.$

2. (i) Las tres raíces del polinomio se pueden expresar en la forma $u/h,u,uh.$ Usando las fórmulas de Cardano-Vieta:

$\left \{ \begin{matrix}(u/h)+u+uh=-b/a\\(u/h)u+(u/h) (uh)+u(uh)=c/a\\(u/h)u (uh)=-d/a.\end{matrix}\right.$

Simplificando obtenemos:

$\left \{ \begin{matrix}u\left((1/h)+1+h\right)=-b/a\\
u^2\left((1/h)+1+h\right)=c/a\\
u^3=-d/a.\end{matrix}\right.$

Dividiendo la segunda ecuación entre la primera obtenemos $u=-c/b$ con lo cual $-d/a=-c^3/b^3$ o bien:

$b^3d-c^3a=0.$

(ii) Para $a=8,b=-42,c=63,d=-27$ se verifica $b^3d-c^3a=0.$ En este caso tenemos $u=-c/b=3/2.$ La igualdad $u\left((1/h)+1+h\right)=-b/a$ es ahora:

$\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{h}+1+h\right)=\dfrac{21}{4}.$

Operando queda la ecuación $2h^2-5h+2=0$ cuyas soluciones son $2$ y $1/2.$ Para $h=2$ obtenemos $\{u/h,u,uh\}=\{3/4,3/2,3\}$ y para $h=1/2,$ las mismas soluciones: $\{u/h,u,uh\}=\{3,3/2,3/4\}.$ Concluimos que las raíces del polinomio son $3/4,3/2$ y $3.$

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