Tres relaciones en $\mathbb{N}$

Estudiamos tres relaciones en el conjunto de los números naturales.

Enunciado
En el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales ($0\not\in\mathbb{N}$) se definen las siguientes relaciones:
$(a)$ La relación $R$ tal que $aRb\Leftrightarrow a\mbox{ es divisible por }b $
$(b)$ La relación $S$ tal que $aSb\Leftrightarrow a+b\mbox{ es múltiplo de }2 $
$(c)$ La relación $T$ tal que $aTb\Leftrightarrow ab\mbox{ es múltiplo de }2 $
Se pide:
1. Estudiar si las relaciones $R,S,T$ tienen las propiedades reflexiva, transitiva, simétrica, o antisimétrica.
2. Señalar cual o cuales de las relaciones $R,S$ y $T$ son de equivalencia o de orden.
3. Para las posibles relaciones de equivalencia señalar las clases de equivalencia; para las posibles de orden, indíquese si se trata de una relación de orden parcial o total.

Solución
1. $(a)$ Analicemos las propiedades de la relación $R:$
(i) Reflexiva. Para todo $a\in\mathbb{N}$ se verifica $a=1a$ lo cual implica que $a$ es divisible por $a,$ es decir $R$ es reflexiva.
(ii) Simétrica. Elijamos $a=2,b=1,$ entonces se verifica $aRb,$ pero no que $bRa,$ por tanto $R$ no es simétrica.
(iii) Transitiva. Sean $a,b,c\in\mathbb{N}$ tales que $aRb$ y $bRc.$ Entonces existen $p,q\in\mathbb{N}$ tales que $a=pb$ y $b=qc$ lo cual implica que $a=pqc$ con $pq\in\mathbb{N}$ o lo que es lo mismo, $aRc$ y en consecuencia $R$ es transitiva.
(iv) Antisimétrica. Si $a,b\in\mathbb{N}$ cumplen $aRb$ y $bRa,$ entonces existen $p,q\in\mathbb{N}$ tales que $a=pb$ y $b=qa$ lo cual implica que $a=pqa.$ Necesariamente es $pq=1$ y al ser $p,q$ naturales, $p=q=1,$ de lo cual se deduce $a=b.$ La relación $R$ es antisimétrica.

$(b)$ Propiedades de la relación $S:$
(i) Reflexiva. Para todo $a\in\mathbb{N}$ se verifica $a+a=2a$ lo cual implica que $a$ es múltiplo de $2,$ es decir $S$ es reflexiva.
(ii) Simétrica. Si $aSb$ entonces $a+b$ es múltiplo de $2.$ Como $b+a=a+b,$ también $b+a$ es múltiplo de $2,$ es decir $bSa.$ La relación $S$ es simétrica.
(iii) Transitiva. Sean $a,b,c\in\mathbb{N}$ tales que $aSb$ y $bSc.$ Entonces existen $p,q\in\mathbb{N}$ tales que $a+b=2p$ y $b+c=2q$ lo cual implica que $a+c=2(p+q-b),$ y por tanto $aSc.$ La relación $S$ es transitiva.
(iv) Antisimétrica. Para $a=1,b=3$ tenemos $aSb,bSa$ y sin embargo $a\neq b.$ La relación $S$ no es antisimétrica.

$(c)$ Propiedades de la relación $T:$
(i) Reflexiva. Para $a=1$ tenemos $aa=1,$ que no es múltiplo de $2.$ La relación $T$ no es es reflexiva.
(ii) Simétrica. Si $aSb$ entonces $ab$ es múltiplo de $2.$ Como $ba=ab,$ también $ba$ es múltiplo de $2,$ es decir $bTa.$ La relación $T$ es simétrica.
(iii) Transitiva. Para $a=3,b=2,c=5$ se verifica $aTb$ y $bTc,$ sin embargo no se verifica $aTc.$ La relación $T$ no es transitiva.
(iv) Antisimétrica. Para $a=1,b=2$ tenemos $aTb,bTa$ y sin embargo $a\neq b.$ La relación $T$ no es antisimétrica.

Concluimos que $R$ es exactamente reflexiva, antisimétrica y transitiva;  $S$ exactamente reflexiva, simétrica y transitiva y $T$ exactamente simétrica.

2. Del apartado anterior, concluimos que $R$ es relación de orden, $S$ es de equivalencia, y $T$ no es ni de orden ni de equivalencia.

3. Para $a=2,b=3$ no se verifica ni $aRb$ ni $bRa,$ es decir $R$ es relación de orden parcial. Las clases de equivalencia de los elementos $1$ y $2$ asociadas a la relación $S$ son: $$[1]=\{1,3,5,7,\ldots\}\;,\quad [2]=\{2,4,6,8,\ldots\}.$$ Dado que $[1]\cup [2]=\mathbb{N},$ las únicas clases de equivalencia son $[1]$ y $[2].$ El conjunto cociente es por tanto $\mathbb{N}/S=\{[1]\,[2]\}.$

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