Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff

Relacionamos la continuidad uniforme con el teorema de Tychonoff.

Enunciado
Sea $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $$f(x,y)=x+\dfrac{y}{x}\;(\textrm{si}\;x\neq 0)\;,\quad f(0,y)=0.$$
1. Determinar el subconjunto $M$ de $\mathbb{R}^2$ en donde $f$ es continua.
2. Probar que $f$ no es uniformemente continua en $M$.
3. Estudiar la continuidad uniforme de $f$ en el subconjunto de $M:$ $(1,2)\times (1,2)$.

    (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

Solución
1. Para todo $P_0(x_0,y_0)$ con $x_0\neq 0$ existe un entorno $V$ de $P_0$ en el que la función $f$ está definida y es elemental, en consecuencia continua en $P_0$. Analicemos la continuidad de $f$ en los puntos de la forma $(0,y_0)$. Si $y_0\neq 0$, el límite según la recta $y=y_0$ es:

   $\displaystyle\lim_{\begin{matrix}(x,y) \to (0,y_0)\\y=y_0\end{matrix}}{f(x,y)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\left(x+\dfrac{y_0}{x}\right)}=\infty.$

   es decir, $f$ no es continua. Tampoco es continua en el origen. Efectivamente hallando los límites según las direcciones $y=mx\;(m\neq 0):$

   $\displaystyle\lim_{\begin{matrix}(x,y) \to (0,0)\\y=mx\end{matrix}}{f(x,y)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\left(x+\dfrac{mx}{x}\right)}=m.$

   Es decir, $M=\left\{{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: x\neq 0 }\right\}$.

2. Para las sucesiones $a_n=(1/n,1)$ y $b_n=(1/(n+1),1)$ en $M$ tenemos:

   $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} d(a_n,b_n)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt{\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)^2}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=0,$$$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} d(f(a_n),f(b_n))=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left |{f(a_n)-f(b_n)}\right |=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{n(n+1)}\right)=1.$$

   Por tanto, para todo $\delta >0$ existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_0$ se verifica $d(a_n,b_n)<\delta$. Para $\epsilon =1/2$, existe $n_1\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_1$ se verifica $d(f(a_n),f(b_n))>\epsilon$. La función $f$ no es uniformemente continua, pues para $\epsilon=1/2$ y para todo $\delta>0$, existe $(a_n,b_n)$ cumpliendo $d(a_n,b_n)<\delta$ y $|f(a_n)-f(a_n)|>\epsilon$ (para ello basta que elijamos $n\geq \max \{n_0,n_1\}$ ) .

3. El intervalo $[1,2]$ de $\mathbb{R}$ es cerrado y acotado, en consecuencia compacto. Por el teorema de Tychonoff, así lo es $[1,2]\times [1,2]$. Por ser $f$ continua en este compacto y por un conocido teorema es uniformemente continua en él, en particular en $(1,2)\times (1,2)$.