Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden

Exponemos como modelo de ejercicio numérico la resolución de un sistema diferencial de segundo orden usando el método de la diagonalización simultánea de formas cuadráticas.

Enunciado
(i)
Hallar todas las soluciones del sistema diferencial $$\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{2}&{8}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1^{\prime\prime}(t)}\\{x_2^{\prime\prime}(t)}\end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{4}&{16}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1(t)}\\{x_2(t)}\end{bmatrix}.$$
(ii) Hallar la solución particular cumpliendo $$\left \{ \begin{matrix}  x_1(0)=x_2(0)=0\\x’_1(0)=-\sqrt{2},\;x’_2(0)=\sqrt{2}/4.\end{matrix}\right.$$

Solución
Comentamos el método general. Sea el sistema diferencial $BX^{\prime\prime}=AX$ con $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simétricas y $B$ definida positiva. Sabemos que existe una matriz $C\in\mathbb{R}^{n\times n}$ invertible tal que $$\left \{ \begin{matrix} C^tAC=D\\C^tBC=I_n\end{matrix}\right.\qquad (*)$$ siendo $D=\textrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ con $\lambda_i$ los valores propios generalizados. Efectuando el cambio $X=CY$ obtenemos $$BX^{\prime\prime}=AX\Leftrightarrow BCY^{\prime\prime}=ACY\Leftrightarrow (C^t)^{-1}Y^{\prime\prime}=(C^t)^{-1}DY\Leftrightarrow Y^{\prime\prime}=DY$$ (i) Las matrices asociadas al sistema son: $$A=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{4}&{16}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{2}&{8}\end{bmatrix}.$$ Ambas matrices son simétricas y $B$ es definida positiva al tener todos sus menores principales positivos. Los valores propios generalizados son $$\det (A-\lambda B)=\begin{vmatrix}{3/2-\lambda}&{2-2\lambda}\\{2-2\lambda}&{8-8\lambda}\end{vmatrix}=4\lambda^2-12\lambda +8=0\Leftrightarrow \lambda =1\;\vee\;\lambda=2,$$ Hallemos los subespacios propios generalizados $$V_{\lambda_1} \equiv \left \{ \begin{matrix}  (1/2)x_1=0\end{matrix}\right.\;,\quad V_{\lambda_2} \equiv \left \{ \begin{matrix}  (-1/2)x_1-2x_2=0\\ -2x_1-8x_2=0.\end{matrix}\right.$$ Unas bases estos subespacios son $B_1=\left\{{v_1=(0,1)^t}\right\}$ y $B_2=\left\{{v_2=(4,-1)^t}\right\}$. Estos vectores corresponden a valores propios generalizados distintos, en consecuencia son $B$-ortogonales. Sus normas son $\left\|{v_1}\right\|=\sqrt{v_1^tBv_1}=2\sqrt{2},\;\left\|{v_2}\right\|=\sqrt{v_2^tBv_2}=2\sqrt{2}$. Una matriz $C$ cumpliendo las condiciones $(*)$ sabemos que es $C=[\;v_1/\left\|{v_1}\right\|\;,\;v_2/\left\|{v_2}\right\|\;],$ es decir $$C=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\begin{bmatrix}{0}&{\;\;4}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Resolvamos el sistema diagonal $Y^{\prime\prime}=DY$ $$Y^{\prime\prime}(t)=DY(t)\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1^{\prime\prime}(t)=y_1(t)\\y_2^{\prime\prime}(t)=2y_2(t)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1(t)=\alpha e^t+\beta e^{-t}\\y_2(t)=\gamma e^{\sqrt{2}t}+\lambda e^{-\sqrt{2}t}.\end{matrix}\right.$$ Por tanto

$X(t)=\begin{bmatrix}{x_1(t)}\\{x_2(t)}\end{bmatrix}=CY(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\begin{bmatrix}{4\gamma e^{\sqrt{2}t}+4\lambda e^{-\sqrt{2}t}}\\{\alpha e^t+\beta e^{-t}-\gamma e^{\sqrt{2}t}-\lambda e^{-\sqrt{2}t}}.\end{bmatrix}$

(ii) Imponiendo las condiciones $X(0)=(0,0)^t,\;X’(0)=(-\sqrt{2},\sqrt{2}/4)^t$ y resolviendo el sistema obtenemos

$X(t)=\dfrac{1}{8}\begin{bmatrix}{-4e^{\sqrt{2}t}+4e^{-\sqrt{2}t}}\\{e^{\sqrt{2}t}-e^{-\sqrt{2}t}}\end{bmatrix}.$

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