Endomorfismo en un subespacio de C(R)

Estudiamos un endomorfismo en un subespacio de $C(\mathbb{R}).$

Enunciado
En el espacio vectorial $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ se consideran $\phi_1,\phi_2,\phi_3$ definidas $\forall x\in \mathbb{R}$ por:

$\phi_1(x)=1,\;\phi_2(x)=x,\;\phi_3(x)=x\log |x|\;\textrm{si}\;x\neq 0,\;\phi_3(0)=0 .$

1. Probar que $B=(\phi_1,\phi_2,\phi_3)$ es una familia libre en $\mathcal{C}(\mathbb{R})$. Si $E$ es el subespacio vectorial de $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ generado por $B$, demostrar que la funcion $\phi :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por: $\phi(x)=1+x-x\log |x|\;\textrm{si}\;x\neq 0,\; \phi(0)=0$ pertenece a $E$ y hallar sus coordenadas en la base $B$.
2. Sea $f$ el endomorfismo en $E$ cuya matriz respecto de $B$ es:

$M=\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{-3}&{2}\\{-1}&{2}&{0}\end{bmatrix}$

Estudiar si $f$ es automorfismo y determinar en su caso $f^{-1}$ . Resolver la ecuación $f(\varphi)=\phi,$ donde $\phi$ es la función definida en el apartado anterior.
3. Calcular $(M-I)(M+3I)$ . Expresar $M^2$ y $M^{-1}$ en función de $M$ y de $I$. Probar que $\forall n\in \mathbb{Z}$, $\exists u_n,v_n\in \mathbb{R}$ tales que $M^n=u_nI+v_nM$ y que $u_n+v_n$ es constante.
4. Expresar $u_n,v_n$ y $M^n$ en función de $n$ para $n\geq 0$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales , UPM).

Solución
1. Es sencillo comprobar que las funciones
$\phi_1,\phi_2,\phi_3$ son efectivamente continuas en $\mathbb{R}$. En cualquier caso y de la redacción de este apartado parece darse por supuesto que lo son. Veamos que forman un sistema libre. Consideremos una combinación lineal de estas funciones igualada a la función cero, es decir $\lambda_1\phi_1+\lambda_2\phi_2+\lambda_3\phi_3=0$. Dando a $x$ los valores $0,1,e$ obtenemos:

${\lambda_1=0}\\{\lambda_1+\lambda_2=0}\\{\lambda_1+e\lambda_2+e\lambda_3=0}.$

de lo que se deduce que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ y por tanto $B$ es una familia libre. Por otra parte de la definición de $\phi$ se deduce inmediatamente que $\phi=\phi_1+\phi_2-\phi_3$. Esto prueba que $\phi\in E$ y además que las coordenadas de $\phi$ en $B$ son $(1,1,-1)$ .

2. La ecuación matricial de $f$ en la base $B$ es:

$\begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\\{y_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{-3}&{2}\\{-1}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}\quad [1]$

Como $\det (M)=-3\neq{0}$ tenemos que $\dim (\ker f)=3-\textrm{rg}(M)=0$, lo cual implica que $\ker f=\left\{{0}\right\}$ y $f$ es inyectiva. Por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales, $\dim(\textrm{Im}f)=3$ y $f$ es sobreyectiva. En consecuencia, $f$ es automorfismo.

Si $(x_1,x_2,x_3)^t$ son las coordenadas de $\varphi$ en $B$ entonces, usando $[1]$ y que las coordenadas de $\phi$ en $B$ son $(1,1,-1)^t$ se ha de verificar:

$\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{-3}&{2}\\{-1}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}$

Resolviendo obtenemos $(x_1,x_2,x_3)^t=(1/3,1/3,1/3)$ o de manera equivalente $\varphi=(1/3)(\phi_1+\phi_2+\phi_3)$. Queda por tanto:

$\varphi(x)=\displaystyle\frac{1-x-x\log |x|}{3}\;\textrm{si}\;x\neq{0},\;\;\varphi (0)=\displaystyle\frac{1}{3}.$

3. Operando obtenemos $(M-I)(M+3I)=0$ o bien $M^2+2M-3I=0$ , por tanto $M^2=3I-2M$. Por otra parte:

$M^2+2M-3I=0\Leftrightarrow{}M(M+2I)=3I\Leftrightarrow{M\left( \displaystyle\frac{1}{3}(M+2I) \right)}=I.$

Se deduce pues que $M^{-1}=(1/3)(M+2I)$. Veamos por inducción que si $n\geq{0}$ existen $u_n,v_n\in{\mathbb{R}}$ tales que $M^n=u_nI+v_nM$. Tenemos:

$M^0=I=1I+0M,\;M^1=0I+1M,\;M^2=3I-2M.$

En consecuencia es cierto para $n=0,1,2$ verificándose además para estos valores de $n$ que $u_n+v_n=1$. Supongamos que es cierto para $n$, entonces:

$M^{n+1}=(u_nI+v_nM)M=u_nM+v_nM^2=\\u_nM+v_n(3I-2M)=3v_nI+(u_n-2v_n)M.$

Existen pues $u_{n+1}=3v_n,v_{n+1}=u_n-2v_n$ tales que $M^{n+1}=u_{n+1}I+v_{n+1}M$ cumpliéndose además $u_{n+1}+v_{n+1}=3v_n+(u_n-2v_n)=u_n+v_n=1$.

Procedemos de análoga manera para $M^{-k}$ con $k>0$: $M^{-1}=(2/3)I+(1/3)M$ es decir, $M^{-1}=u_{-1}I+v_{-1}M$ con $u_{-1}+v_{-1}=1$. Si $M^{-k}=u_{-k}+v_{-k}M$ con $u_{-k}+v_{-k}=1$ entonces:

$M^{-k-1}=M^{-k}M^{-1}=(u_{-k}+v_{-k}M)\left(\displaystyle\frac{2}{3}I+\displaystyle\frac{1}{3}M\right)=\\\ldots=\displaystyle\frac{2u_{-k}+3v_{-k}}{3}I+\displaystyle\frac{u_{-k}}{3}M=u_{-k-1}I+v_{-k-1}M.$

En donde hemos usado $M^2=3I-2M$. Como $u_{-k-1}+v_{-k-1}=u_{-k}+v_{-k}=1$, podemos concluir que para todo $n\in{\mathbb{Z}}$ existen números reales $u_n$ y $v_n$ cuya suma es constante e igual a $1$ tales que $M^n=u_nI+v_nM$.

4. Efectuando la división euclídea de $x^n$ entre $x^2+2x-3$ obtenemos:

$x^n=(x^2+2x-3)q(x)+\alpha x +\beta\quad (\alpha,\beta \in{\mathbb{R}}).\quad [2]$

Sustituyendo $x$ por $M$ en $[2]$ , obtenemos $M^n=\alpha M+\beta I$. Para determinar $\alpha,\beta$ sustituimos $x$ por las raíces de $x^2+2x-3$, es decir por $1$ y por $-3$, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resuelto, proporciona los valores:

$\alpha=\displaystyle\frac{1-(-3)^n}{4},\quad \beta=\displaystyle\frac{3+(-3)^n}{4}.$

Es decir, obtenemos $M^n$ en función de $n:$

$M^n=\displaystyle\frac{1-(-3)^n}{4}M+\displaystyle\frac{3+(-3)^n}{4}I\quad (n\geq 0),$

con lo cual quedan determinados $u_n$ y $v_n$ en función de $n$.

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