Forma canónica del operador derivación

Determinamos la forma canónica del operador derivación y una correspondiente matriz de paso.

Enunciado
Sea $V$ el espacio vectorial real formado por los polinomios $q(x)$ de grado menor o igual que $n$, respecto de las operaciones usuales. Se considera la aplicación lineal

$D:V\to V,\quad q(x)\to D(q(x))=q’(x).$

Hallar la matriz $A$ de $D$ respecto de la base de $V:$ $\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$. Encontrar su forma canónica de Jordan $A^*$ (o en particular, su forma diagonal) y una matriz $P$ regular y diagonal tal que $A^*=P^{-1}AP$. Especificar la nueva base.

(Propuesto en examen, Álgebra , ETS Ing. Montes, UPM).

Solución
Hallemos los transformados por $D$ de los elementos de la base $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ de $V$

$D(1)=0\\D(x)=1\\D(x^2)=2x\\{}\qquad\ldots\\ D(x^n)=nx^{n-1}.$

Transponiendo coeficientes obtenemos la matriz cuadrada de orden $n+1$ pedida

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & & \ldots & & & 0\\ 0 & 0 & 2 & &\ldots & & & 0 \\0 & 0 & 0 & & \ldots & & & 0\\ \vdots&&&&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & & \ldots & & & n\\0 & 0 & 0 & &\ldots & & & 0\end{bmatrix}$

El polinomio característico de $D$ es $\chi (\lambda)=\lambda^{n+1}$, por tanto $\lambda=0$ es el único valor propio y su multiplicidad algebraica es $n+1$. Obviamente $\det (A)=0$ y eliminando la primera columna y última fila de $A$ obtenemos una submatriz con determinante $n!$, lo cual implica que $\textrm{rg}A=n$. En consecuencia la multiplicidad geométrica de $\lambda=0$ es $(n+1)-n=1$ (una caja ) y la forma canónica de Jordan de $D$ es

$A^*=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & & \ldots & & & 0\\ 0 & 0 & 1 & &\ldots & & & 0 \\0 & 0 & 0 & & \ldots & & & 0\\ \vdots&&&&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & & \ldots & & & 1\\0 & 0 & 0 & &\ldots & & & 0\end{bmatrix}$

Una base $B^*=\{p_1(x),p_2(x),\ldots,p_{n+1}(x)\}$ de $V$ tal que la matriz de $D$ respecto de $B^*$ es $A^*$ ha de cumplir

$D[p_1(x)]=0\\
D[p_2(x)]=p_1(x)\\
D[p_3(x)]=p_2(x)\\
{}\qquad{}\quad\ldots\\
D[p_{n+1}(x)]=p_n(x).$

Teniendo en cuenta que $D$ es el operador derivación, una base $B^*$ cumpliendo las condiciones anteriores es

$B^*=\{1,\;x\;,\;x^2/2\;,\;x^3/(2\cdot 3)\;,\;x^4/(2\cdot 3 \cdot 4)\;,\;\ldots\;,\;x^n/(n!)\}.$

La matriz $P$ pedida es por tanto la matriz de paso de $B$ a $B^*:$

$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & & \ldots & & & 0\\ 0 & 1 & 0 & &\ldots & & & 0 \\0 & 0 & 1/2 & & \ldots & & & 0\\ \vdots&&&&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & & \ldots & & & 0\\0 & 0 & 0 & &\ldots & & & 1/n!\end{bmatrix}$

Es decir, $P=\textrm{diag}\;(1/0!\;,\;1/1!\;,\;1/2!\:,\;\ldots\;,\;1/n!)$.

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