Un determinante por recurrencia

Calculamos un determinante por recurrencia usando la teoria de valores y vectores propios.

Enunciado
Sea $n\in{\mathbb{N}^*},\;A_n\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $D_n=|A_n|$. En todo lo que sigue supondremos la existencia de $p,q\in \mathbb{R}$ tales que si $n> 2$, $D_n=pD_{n-1}+qD_{n-2}$. Se pide:

1.  Si $q=0$ , hallar $D_n$ en función de $p,n,D_2$.
2.  Si $q\neq 0$ y $r,s$ son las raíces que suponemos distintas de la ecuación $x^2-px-q=0$, hallar $D_n$ en función de $D_1,D_2,r,s,n$.
3.  Si $A_2=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{5}\end{bmatrix}$ hallar $|A_5^{-1}|$ cuando $p=2,q=0$.
4.  Calcular el determinante de la matriz: $\begin{bmatrix} 7 & 5 & 0 &\ldots & 0\\ 2 & 7 & 5 &\ldots & 0\\ 0 & 2 & 7 &\ldots & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 7\end{bmatrix}^2\in \mathbb{R}^{n\times n}.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
1.  Para $q=0$ tenemos:

$D_3=pD_2\\D_4=pD_3=p(pD_2)=p^2D_2\\D_5=pD_4=p(p^2D_2)=p^3D_2\\ \ldots$

Se deduce inmediatamente por inducción que $D_n=p^{n-2}D_2$ si $n> 2$.

2.  La relación $D_n=pD_{n-1}+qD_{n-2}$ se puede escribir en la forma:

$\begin{bmatrix}{D_n}\\{D_{n-1}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{p}&{q}\\{1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{D_{n-1}}\\{D_{n-2}}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}{D_{n-1}}\\{D_{n-2}}\end{bmatrix}$

Llamando $X_k=\begin{bmatrix}{D_k}&{D_{k-1}}\end{bmatrix}^t$ obtenemos:

$X_n=MX_{n-1}=M^2X_{n-2}=M^3X_{n-3}=\ldots=M^{n-2}X_2=M^{n-2}X_2.$

Es decir, obtenemos la relación:

$\begin{bmatrix}{D_n}\\{D_{n-1}}\end{bmatrix}=M^{n-2}\begin{bmatrix}{D_2}\\{D_1}\end{bmatrix}$

Hallemos $M^{n-2}$ por diagonalización. Valores propios de $M$:

$\det (M-xI)=\det \begin{bmatrix}{p-x}&{q}\\{1}&{-x}\end{bmatrix}=x^2-px-q.$

cuyas raíces son por hipótesis $r,s$ con $r\neq s$ lo cual asegura que $M$ es diagonalizable. Los subespacios propios son:

$\ker(M-rI) \equiv\begin{bmatrix}{p-r}&{q}\\{1}&{-r}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\end{bmatrix}\\
\ker(M-sI)\equiv \begin{bmatrix}{p-s}&{q}\\{1}&{-s}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\end{bmatrix}$

Unas bases son $B_r=\left\{{(r,1)}\right\},\;B_s=\left\{{(s,1)}\right\}$ respectivamente. Se verifica pues:

$ M=PDP^{-1}\;\textrm{con}\; D=\begin{bmatrix}{r}&{0}\\{0}&{s}\end{bmatrix}\;\textrm{y}\;P=\begin{bmatrix}{r}&{s}\\{1}&{1}\end{bmatrix} $

Entonces:

$ \begin{bmatrix}{D_n}\\{D_{n-1}}\end{bmatrix}=M^{n-2}\begin{bmatrix}{D_2}\\{D_{1}}\end{bmatrix}=PD^{n-2}P^{-1}\begin{bmatrix}{D_2}\\{D_{1}}\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}{r}&{s}\\{1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{r^{n-2}}&{0}\\{0}&{s^{n-2}}\end{bmatrix}\cdot \dfrac{1}{r-s}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{-s}\\{-1}&{\;\;r}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{D_2}\\{D_{1}}\end{bmatrix}=\\{}\\\dfrac{1}{r-s}\begin{bmatrix}{ ( r^{n-1}-s^{n-1})D_2+rs(s^{n-2}-r^{n-2}D_1) }\\{( r^{n-2}-s^{n-2})D_2+rs(s^{n-3}-r^{n-3}D_1)}\end{bmatrix}$

Queda por tanto:

$D_n=\dfrac{( r^{n-1}-s^{n-1})D_2+rs(s^{n-2}-r^{n-2})D_1}{r-s}.\quad (1)$

3.  Por el apartado 1 tenemos $D_5=p^3D_2$, en consecuencia:

$\left | A_5^{-1}\right |=\dfrac{1}{\left |{A_5}\right |}=\dfrac{1}{D_5}=\dfrac{1}{p^3D_2}=\dfrac{1}{8\cdot{4}}=\dfrac{1}{32}.$

4.  El determinante pedido es el cuadrado del determinante $D_n$ :

$D_n=\begin{vmatrix} 7 & 5 & 0 &\ldots & 0\\ 2 & 7 & 5 &\ldots & 0\\ 0 & 2 & 7 &\ldots & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 7\end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera columna obtenemos $D_n=7D_{n-1}-10D_{n-2}$. Es decir, estamos en el caso del apartado 2 con $p=7,q=10$. Las raíces de $x^2-7x+10=0$ son $r=5,s=2$. Teniendo en cuenta que $D_2=39,D_1=7$ y sustituyendo en $(1):$

$D_n=\dfrac{1}{3}\left[39( 5^{n-1}-2^{n-1})+70(2^{n-2}-5^{n-2})\right].$

y la solución es $D_n^2.$

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