Criterio de Weierstrass: suma de una serie

Enunciado
Estudiar la convergencia de la serie numérica:

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n\;dx.$

En caso de ser convergente, hallar su suma.

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución.  Para todo $x\in [0,1]$ se verifica $1/(x^4+2x^2+2)\leq 1/2$, entonces: $$\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}\leq \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{x^4+2x^2+2} \right)^n \leq \dfrac{1}{2^n} \\\Rightarrow \displaystyle\int_0^1\left( \dfrac{1}{x^4+2x^2+2} \right)^n\;dx \leq \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{2^n}\;dx=\dfrac{1}{2^n} .$$

La serie de términos positivos dada está pues mayorada por la serie geométrica convergente $\sum_{n=0}^{+\infty}(1/2)^n$, en consecuencia es convergente.

Consideremos ahora la serie funcional:

$S:\;\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n.$

Tenemos:

$\left | \left(\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n \right |\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n,\quad \forall x \in [0,1].$

Dado que la serie $\sum_{n=0}^{+\infty}(1/2)^n$ es convergente, por el criterio de Weierstrass, la serie $S$ es uniformemente convergente en $[0,1]$, lo cual implica que se puede integrar término a término en $[0,1]$. Llamemos $S(x)$ a la suma de la serie $S$, entonces:

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n\;dx=\displaystyle\int_0^1S(x)\;dx.$

La serie $S$ es geométrica de razón $r<1$ su suma es por tanto: $$S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}}$$ $$= \dfrac{x^4+2x^2+2}{x^4+2x^2+1}=1+\dfrac{1}{x^4+2x^2+1}=1+\dfrac{1}{(x^2+1)^2}.$$

Entonces:

$\displaystyle\int S(x)\;dx=x+\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x^2+1)^2}=\ldots=x+\dfrac{1}{2}\;\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{\arctan x}{2}+C.$

Hemos omitido los cálculos que corresponden al método de Hermite por lo rutinario de los mismos. Tenemos pues:

$\displaystyle\int_0^1 S(x)=\left[x+\frac{1}{2}\;\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{\arctan x}{2}\right]_0^1=\dfrac{4}{5}+\dfrac{\pi}{8}.
$

Es decir

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n\;dx=\dfrac{4}{5}+\dfrac{\pi}{8}.$

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