Derivación de funciones implícitas

Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones implícitas.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar $y’$ para la función implícita dada por $x\operatorname{sen}y+y\operatorname{sen}x=0.$
  2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{8}=1$ trazada en el punto $P(-9,-8).$
  3. Hallar $y’$ para la función $y$ dada en forma implícita por: $$\operatorname{sen}(y-x^2)-\log (y-x^2)+2\sqrt{y-x^2}-3=0.$$
  4. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ en el punto $P(x_0,y_0)$ es $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1.$
    Solución
  1. Derivando respecto de $x:$ $$\operatorname{sen}y+x(\cos y)y’+y’\operatorname{sen}x+y\cos x=0.$$ Queda $(x\cos y+\operatorname{sen}x)y’=-y\cos x-\operatorname{sen}y.$ Por tanto, $$y’=-\dfrac{y\cos x+\operatorname{sen}y}{x\cos y+\operatorname{sen}x}.$$
  2. Efectivamente, el punto $P$ satisface la ecuación dada. Derivando respecto de $x:$ $$\dfrac{2x}{9}-\dfrac{2yy’}{8}=0,\quad y’=\dfrac{8x}{9y}.$$ Particularizando en el punto $P,$ obtenemos $y’(-9)=1.$ La ecuación de la recta tangente en $P$ es por tanto $y+8=1(x+9),$ o bien $x-y+1=0.$
  3. Derivando respecto de $x:$ $$\left(\cos (y-x^2)\right)(y’-2x)-\dfrac{y’-2x}{y-x^2}+2\dfrac{1}{2\sqrt{y-x^2}}(y’-2x)=0.$$ Sacando factor común $y’-2x:$ $$(y’-2x)\left(\cos (y-x^2)-\dfrac{1}{y-x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{y-x^2}}\right)=0.$$ Queda por tanto $y’=2x.$
  4. Derivando respecto de $x$ y particularizando en $P:$ $$\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2yy’}{b^2}=0,\quad y’=-\dfrac{b^2x}{a^2y},\quad y’(x_0)=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}.$$ La ecuación de la recta tangente es: $$y-y_0=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0).$$ Quitando denominadores y ordenando: $$b^2x_0x+a^2y_0y=b^2x_0^2+a^2y_0^2.$$ Dividiendo entre $a^2b^2:$ $$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}.$$ Pero el punto $P$ pertenece a la elipse, por tanto el segundo miembro de la ecuación es igual a $1.$ Queda: $$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1.$$
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