Desigualdad y número de raíces

Enunciado
(a) Demostrar la desigualdad:

$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x}\;,\quad \forall{x>0}.$

(b) Hallar razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación

$e(\log x)^2=2x.$

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
(a) Como $x>0,$ se verifican las equivalencias:

$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x} \Leftrightarrow \dfrac{x}{e}\geq \log x \Leftrightarrow \dfrac{x}{e}- \log x\geq 0. \qquad (1)$

Definamos la función:

$f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}\;,\quad f(x)=\dfrac{x}{e}-\log x$

y estudiemos sus posibles extremos. Derivando:

$f’(x)=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-e}{ex}=0 \Leftrightarrow x=e.$

Si $x\in (0,e)$ se verifica $x-e<0$ y $ex>0,$ por tanto $f’(x)<0.$ Es decir, en $(0,e)$ la función es decreciente. Si $x\in (e,+\infty)$ se verifica $x-e>0$ y $ex>0,$ por tanto $f’(x)>0.$ Es decir, en $(0,+\infty)$ la función es creciente. Deducimos que la función tiene un mínimo absoluto en $x=e,$ siendo éste mínimo $f(e)=0.$ Esto implica que se verifica la última desigualdad de $(1)$ y en consecuencia se verifica la igualdad dada.

(b) La igualdad $e(\log x)^2=2x$ sólo tiene sentido para $x>0.$ Definamos la función:

$g:(0,+\infty)\to \mathbb{R}\;,\quad g(x)=e(\log x)^2-2x.$

Ésta función es continua para todo $x>0$ y verifica:

$g(1/e)=e(-1)^2-\dfrac{2}{e}=\dfrac{e^2-2}{e}>0\;,\;g(1)=0-2=-2<0.$

Como consecuencia del teorema de Bolzano, existe un $\xi\in (1/e,1)$ tal que $g(\xi)=0,$ es decir la ecuación dada tiene al menos una solución. Veamos si ésta solución es única. La derivada de $g$ es:

$g’(x)=2e(\log x)\cdot \dfrac{1}{x}-2=2\left(\dfrac{e\log x}{x}-1\right).$

Ahora bien, como $x>0$ se verifican las equivalencias:

$\dfrac{e\log x}{x}-1\leq 0 \Leftrightarrow 1\geq \dfrac{e\log x}{x} \Leftrightarrow \dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x}.\qquad (2)$

Según el apartado (a) las tres desigualdades de $(2)$ son cierta y por tanto $g’(x)\leq 0$ para todo $x>0$ siendo $g’(x)=0$ sólo para $x=e.$ La función $g$ es estrictamente decreciente en $(0,+\infty)$ de lo cual se deduce que la ecuación dada tiene una única solución real.

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