Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4$

Construimos un endomorfismo para calcular la suma $S_4=1^4+…+n^4.$

Enunciado
1. Sea $\mathbb{R}_5[x]$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor que $6$ con coeficientes en $\mathbb{R}$ . Se considera la aplicación $T:\mathbb{R}_5[x]\rightarrow{\mathbb{R}_5[x]}$ definida por $\forall p(x) \in \mathbb{R}_5[x],\;T(p(x))=p(x+1)-p(x)$ . Demostrar que $T$ es lineal.

2. Estudiar si es cierto el siguiente enunciado: $p\in \ker T\Leftrightarrow\;p$ es constante.

3. Hallar las imágenes por $T$ de la base canónica de $\mathbb{R}_5[x]$ y calcular $T^{-1}(x^4)$ .

4. Utilizar el resultado anterior para deducir una expresión de la suma

$S_4=1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4$ .

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución

1. El polinomio $T(p(x))=p(x+1)-p(x)$ es de grado menor o igual que $5$, en consecuencia pertenece a $\mathbb{R}_5[x]$ . Por otra parte, $\forall{\lambda}\forall{\mu}\in{\mathbb{R}},\;\forall{p(x)}\forall{q(x)}\in{\mathbb{R}_5[x]}$ tenemos:

${T[(\lambda p(x)+ \mu q(x)})]= \lambda p(x+1)+\mu q(x+1)-(\lambda p(x)+\mu q(x)) =\\\lambda (p(x+1)-p(x))+\mu (q(x+1)-q(x))=\lambda T(p(x) + \mu T(q(x)).$

2. Sea $p=k\in \mathbb{R}_5[x]$ constante. Entonces, $T(p(x))=k-k=0$ , en consecuencia $p(x)\in{}\ker T$ . Reciprocamente, si $p\in{}\ker T$ entonces $p(x+1)-p(x)=0$ o de forma equivalente $p(x+1)=p(x)$. Supongamos que $p$ no fuera constante. Entonces sería de grado $\geq{1}$ y por el teorema fundamental del Álgebra tendría una raíz compleja $a$. Si $p$ perteneciera a $\ker T$ se verificaría $p(x+1)=p(x)$ para todo $x\in{}\mathbb{R}$ y por tanto:

$p(a+1)=p(a)=0,\;p(a+2)=p(a+1)=0,\;p(a+3)=p(a+2)=0,\ldots$

Es decir, $p$ tendría infinitas raíces: $a,a+1,a+2,\ldots$ , lo cual es absurdo. Podemos pues concluir que $\ker T=\left\{{ p\in \mathbb{R}_5[x]: p\;\textrm{constante} }\right\}$ .

3. Los transformados de la base canónica $B$ de $\mathbb{R}_5[x]$ son:

$T(1)=1-1=0\\
T(x)=(x+1)-x=1\\
T(x^2)=(x+1)^2-x^2=1+2x\\
T(x^3)=(x+1)^3-x^3=\ldots=1+3x+3x^2\\
T(x^4)=(x+1)^4-x^4=\ldots=1+4x+6x^2+4x^3\\T(x^5)=(x+1)^5-x^5=\ldots=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4.$

Transponiendo coeficientes, obtenemos la expresión matricial de $T$ en $B$ :

$\begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\\{y_3}\\{y_4}\\{y_5}\\{y_6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}&{1}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{0}&{0}&{0}&{3}&{6}&{10}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{4}&{10}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{5}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{bmatrix}$

Las coordenadas de $x^4$ en la base canónica $B$ son $(0,0,0,0,1,0)^t$. Por tanto, $T^{-1}(x^4)$ está determinado por los $(x_1,\ldots,x_6)^t$ tales que:

$\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}&{1}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{0}&{0}&{0}&{3}&{6}&{10}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{4}&{10}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{5}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{bmatrix}$

Resolviendo obtenemos $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)^t=(\alpha,-1/30,0,1/3,-1/2,1/5)^t$ con $\alpha \in \mathbb{R}$ . Por tanto $T^{-1}(x^4)=\left\{{\alpha -x/30+x^3/3-x^4/2+x^5/5:\alpha \in{\mathbb{R}}}\right\}$ .

4. Consideremos cualquier polinomio $h(x)\in{T^{-1}(x^4)}$ (por ejemplo el correspondiente a $\alpha=0$) . Tal polinomio cumple $T(h(x))=x^4$ es decir $h(x+1)-h(x)=x^4\;(*)$. Dando a $x$ los valores $1,2,\ldots,n$ en $(*)$ obtenemos:

$
h(2)-h(1)=1^4\\
h(3)-h(2)=2^4\\
h(4)-h(3)=3^4\\
\ldots\\
h(n+1)-h(n)=n^4.$

Sumando y cancelando obtenemos $h(n+1)-h(n)=1^4+2^4+\ldots+n^4=S_4$. Es decir:

$S_4=h(n+1)-h(1)=\\-\displaystyle\frac{n+1}{30}+\displaystyle\frac{(n+1)^3}{3}-\displaystyle\frac{(n+1)^4}{2}+\displaystyle\frac{(n+1)^5}{5}+\displaystyle\frac{1}{30}-\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{5}.$

Operando y simplificando obtenemos:

$S_4=1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4=\dfrac{n(2n+1)(n+1)(3n^2+3n-1)}{30}.$

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