Espacio de funciones completo y no compacto

Enunciado
Sea $E=\mathcal{C}(I,I)$ el espacio de las funciones continuas de $I=[0,1]$ en $I$ con la distancia $$d(f,g)=\max \{\left|f(x)-g(x)\right|:x\in I\}.$$ a) Demostrar que $E$ es completo.
b) Demostrar que $E$ no es compacto.
c) Encontrar un elemento de $E$ que tenga un único punto fijo.

(Propuesto en examen, Amp. de Cálculo, ETS Ing. Industriales, UNED).

Solución
a) Como $\mathbb{R}$ es completo e $I=[0,1]$ es cerrado, se concluye que $I$ es completo. Consideremos una sucesión de Cauchy $(f_n)$ en $E$, veamos que converge en $E$. Al ser $(f_n)$ de Cauchy:

$\forall \epsilon >0 \;\exists n_0\in{\mathbb{N}}:n,m\geq n_0\Rightarrow \max \{\left|f_n((x)-f_m(x)\right|:x\in I\}< \epsilon.\qquad [1]$

Esto implica que para todo $x\in I$ la sucesión $(f_n(x))$ es de Cauchy, y al ser $I$ completo, tiene un límite al que llamamos $f(x)$. Además, $f(x)\in I$. Tomando límites cuando $m$ tiende a $\infty$ en $[1]$, para cada $n\geq n_0$ :

$d(f_n,f)=\max \{\left|f_n((x)-f(x)\right|:x\in I\}< \epsilon.$

En consecuencia, para todo $\epsilon >0$ existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_0$ entonces se cumple $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ para todo $x\in I$. La convergencia de $(f_n)$ hacia $f$ es uniforme y al ser las $f_n$ continuas, así lo es $f$. Es decir, $f\in E$ y por tanto $E$ es completo.

b) Veamos que $E$ no es secuencialmente compacto. En espacios métricos esto equivale a no ser compacto. La sucesión $(f_n)$ en $E$ dada por $f_n(x)=x^n$ converge a la función: $f(x)=0$ si $x\in [0,1)$ y $f(1)=1$. Cualquier subsucesión de $(f_n)$ converge a $f$, que no pertenece en $E$ pues $f$ no es continua: $E$ no es compacto.

c) Consideremos $g(x)=x/2$. Claramente $g\in E$ y si $x_0$ es punto fijo de $g$ entonces $x_0/2=x_0$ o bien $x_0=0$: $g$ tiene un único punto fijo.

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