Fórmula de Wallis

En este problema se demuestra la fórmula de Wallis.

Enunciado
Sea $\;\;I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\;dx,\; \forall n\in \mathbb{N}
.$

(a) Establecer una relación de recurrencia entre $I_n$ e $I_{n-2}.$

(b) Establecer una fórmula que permita calcular $I_n$ conocido $n.$

(c) Demostrar que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\dfrac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}=1$ y deducir que:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\sqrt {\pi}.$

Solución
(a) Usando integración por partes con $u=\sin^{n-1}x$ y $dv=\sin x\;dx:$

$\begin{array}{lcl}
I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\;dx\\
{}\quad=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\sin x\;dx\\\quad{}=\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\;dx\\{}\quad =(n-1)\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\;dx\\
{}\quad =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n.
\end{array}$

Obtenemos por tanto la relación:

$I_n=\dfrac{n-1}{n}\;I_{n-2}\quad (\forall{n\geq 2}).$

(b) Para $n$ par obtenemos:

$\begin{array}{lcl}
I_n=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdot\ldots \cdot 1}{n(n-2)\cdot\ldots\cdot 2}\;I_0\\
{}\quad=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdot\ldots \cdot 1}{n(n-2)\cdot\ldots\cdot 2}\;\displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\\\quad{}=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdot\ldots \cdot 1}{n(n-2)\cdot\ldots\cdot 2}\;\dfrac{\pi}{2}\\{}\quad =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\;\dfrac{\pi}{2}.
\end{array}$

Para $n$ impar:

$\begin{array}{lcl}
I_n=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdot\ldots \cdot 2}{n(n-2)\cdot\ldots\cdot 3}\;I_1\\
{}\quad=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdot\ldots \cdot 2}{n(n-2)\cdot\ldots\cdot 3}\;\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\;dx\\\quad{}=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdot\ldots \cdot 2}{n(n-2)\cdot\ldots\cdot 3}\cdot 1\\{}\quad =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}.
\end{array}$

(c) Veamos que $(I_n)$ es una sucesión decreciente de términos positivos. En efecto, para todo $x\in [0,\pi/2]$ y para todo $n\geq 1$ se verifica $0\leq \sin^n x\leq \sin^{n-1} x \leq 1.$ Tenemos pues la relación $1/I_{n-1}\leq 1/I_{n}\leq 1/I_{n+1}.$ Multiplicando por $I_{n+1}$ y por el apartado (a):

$\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{I_{n+1}}{I_{n-1}}\leq \dfrac{I_{n+1}}{I_{n}}\leq \dfrac{I_{n+1}}{I_{n+1}}=1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}{\dfrac{I_{n+1}}{I_n}}=1.$

Teniendo en cuenta que $(a_{2n})=(I_{2n+1}/I_{2n})$ es una subsucesión de $(I_{n+1}/I_{n}),$ se verifica $\lim_{n \to \infty}{a_{2n}}=1.$ Es decir:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\dfrac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\dfrac{ (2n)^2(2n-2)^2\ldots 2^2}{(2n-1)^2(2n-3)^2\ldots 3^2}}\cdot \dfrac{2}{(2n+1)\pi}.$

Por otra parte, $\lim_{n \to \infty}{1/(n+1/2)}=\lim_{n \to \infty}{1/n}$ y la función $f(x)=\sqrt{x}$ es continua, por tanto:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\sqrt {\pi}.$

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