Series de Bertrand

En varias Escuelas se han propuesto en exámenes, diferentes versiones del estudio de una familia de series numéricas (series de Bertrand). Damos la más completa posible.

Enunciado
Se llaman series de Bertrand a las series de la forma:

$S(\alpha, \beta):\quad \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha }\log^{ \beta}n}\quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R}).$

El objetivo se este problema es estudiar su convergencia, para ello se pide:

(i) Demostrar que si $\alpha >1$ entonces $S(\alpha,\beta)$ es convergente.
Sugerencia. Comparar con la serie de término general $v_n=1/n^{\alpha’}$ para una adecuada elección de $\alpha’$.

(ii) Demostrar que si $\alpha <1$ entonces $S(\alpha,\beta)$ es divergente.

(iii) Si $\alpha=1$, demostrar que $S(\alpha,\beta)$ es convergente si $\beta>1$ y divergente si $\beta \leq 1$.
Sugerencia: Usar el criterio integral.

Solución
(i) Llamemos $u_n=\dfrac{1}{n^{\alpha }\log ^{ \beta}n},\; v_n=\dfrac{1}{n^{\alpha’} }$ con lo cual tenemos

$\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n^{\alpha’}}{n^{\alpha }\log ^{ \beta}n}=\dfrac{1}{n^{\alpha -\alpha’}\log ^{ \beta}n}.$

Supongamos que $\alpha >1$, entonces existe $\alpha’$ tal que $1< \alpha’ < \alpha$. Si $\beta \geq 0$ es claro que $\lim_{n \to{+}\infty}{(u_n/v_n)}=0$. Si $\beta <0$ :

$\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{1}{n^{\alpha -\alpha’ }\log^{ \beta}n}=\dfrac{(\log n)^{- \beta}}{n^{\alpha -\alpha’ }},\quad(- \beta >0).$

Como la función potencial es un infinito de orden mayor que la logarítmica, también en este caso $u_n/v_n\rightarrow 0$. Al ser $\alpha’ >1$, la serie de término general $v_n=1/n^{\alpha’}$ converge. Por el criterio de comparación por cociente concluimos que la serie de término general $u_n$ es convergente.

(ii) Sea $\alpha <1$, elijamos $\alpha’$ tal que $\alpha<\alpha’<1$ . Razonando de manera análoga que en ( i), obtenemos $u_n/v_n \rightarrow +\infty$. Por el criterio de comparación por cociente, la serie de término general $u_n$ es es divergente al serlo la de término general $v_n=1/n^{\alpha’}$.

(iii) Para $\alpha=1$ tenemos $u_n=1/(n\log^{\beta}n)$. Sea $f(x)=1/(x\log^{\beta}x)$, veamos que se cumplen para $f$ las hipótesis del criterio integral.

1) $f$ es continua en $[2,+\infty)$ por serlo $x,\;\log x,\;\log^{\beta}x$ y además no nulas.

2) $f$ es positiva en $[2,+\infty)$ por serlo $x$ y $\log^{\beta}x$.

3) Para demostrar que $f$ es decreciente a partir de un $x$ basta demostrar que la función $g(x)=x\log ^{\beta}x$ es creciente a partir de un $x$. Derivando:

$g’(x)=\log^{ \beta}x+ \beta x(\log^{ \beta}x)\cdot{\dfrac{1}{x}}=(\log^{ \beta-1}x)(\log x+ \beta).$

Dado que $\log x \rightarrow{+\infty}$ cuando $x\rightarrow{+\infty}$ se concluye que $g’(x)>0$ a partir de un $x$ (y por tanto creciente a partir de ese $x$ ).

Estudiemos ahora la convergencia de $\int_0^{+\infty}f(x)\;dx$ . Haciendo el cambio $t=1/x$ :

$$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\log^{ \beta}x}=\displaystyle\int \dfrac{dt}{t^{ \beta}}=\dfrac{t^{1- \beta}}{1- \beta}=\dfrac{(\log x)^{1- \beta}}{1- \beta},\; ( \beta \neq 1)$$ $$\Rightarrow \displaystyle\int_2^a \dfrac{dx}{x\log^{ \beta}x}=\dfrac{1}{1- \beta}[(\log a)^{1- \beta}-(\log 2)^{1- \beta}].$$

Si $\beta >1$ entonces $(\log a)^{1- \beta}\rightarrow{0}$ cuando $a\rightarrow{+\infty}$ y la integral $\int_0^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente. Si $\beta <1$ entonces $(\log a)^{1- \beta}\rightarrow{+\infty}$ cuando $a\rightarrow{+\infty}$ y la integral $\int_0^{+\infty}f(x)\;dx$ es divergente. Falta estudiar el caso $\beta=1:$

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\log x}=\log \left |{\log x}\right |\Rightarrow \displaystyle\int_2^a \dfrac{dx}{\log x}=\log \left |{\log a}\right |-\log \left |{\log 2}\right |.$

Entonces $a\rightarrow +\infty \Rightarrow \log \left |{a}\right |\rightarrow +\infty \Rightarrow \log |\log a|\rightarrow +\infty$ y la integral es divergente.

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