Sucesiones exactas

Se definen las sucesiones exactas y se estudian algunas de sus propiedades.

Enunciado
Sean $E,\;F,\;G,\;H$ espacios vectoriales, y sean $f:E\to F$, $g:F\to G$, $h:G\to H$ aplicaciones lineales. Se dice que la sucesión $E\overset{f}{\to} F\overset{g}{\to} G$ es exacta en $F$ cuando $\textrm{Im}f=\ker g$.

(a) Supongamos que $\dim E=0$. Enunciar y demostrar una condición necesaria y suficiente que ha de cumplir $g$ para que la sucesión $E\overset{f}{\to} F\overset{g}{\to} G$ sea exacta en $F$.
(b) Supongamos que $\dim H=0$. Enunciar y demostrar una condición necesaria y suficiente que ha de cumplir $g$ para que la sucesión $F\overset{g}{\to} G\overset{h}{\to} H$ sea exacta en $G$.
(c) Supongamos que la sucesión $E\overset{f}{\to} F\overset{g}{\to} G\overset{h}{\to}H$ es exacta en $F$ y exacta en $G.$ Estudiar la validez de la proposición $f$ es sobreyectiva si y sólo si $h$ es inyectiva. Dar una demostración o construir un contraejemplo.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución

(a) Por hipótesis $\dim E=0$, esto equivale a $E=\{0\}$. Tenemos por tanto la sucesión $\{0\}\overset{f}{\to} F\overset{g}{\to} G$ lo cual implica que $f$ es necesariamente la aplicación cero al ser $f$ lineal. Se deduce que $\textrm{Im}f=\{0\}$. Entonces

$\{0\}\overset{f}{\to} F\overset{g}{\to} G$ es exacta en $F\Leftrightarrow \textrm{Im}f=\ker g\Leftrightarrow \{0\}=\ker g\Leftrightarrow g$ es inyectiva.

Es decir, la sucesión dada es exacta en $F$ si y sólo si $g$ es inyectiva.

(b) Por hipótesis $\dim H=0$, esto equivale a $H=\{0\}$. Tenemos por tanto la sucesión $F\overset{g}{\to} G\overset{h}{\to} \{0\}$ lo cual implica que $\ker h=G$. Entonces

$F\overset{g}{\to} G\overset{h}{\to} \{0\}$ es exacta en $G\Leftrightarrow \textrm{Im}g=\ker h\Leftrightarrow \textrm{Im}g=G\Leftrightarrow g$ es sobreyeciva.

Es decir, la sucesión dada es exacta en $G$ si y sólo si $g$ es sobreyectiva.

(c) Por hipótesis $\textrm{Im}f=\ker g$ e $\textrm{Im}g=\ker h$. Tenemos

$f$ es sobreyectiva $\Rightarrow \textrm{Im}f=F=\ker g\Rightarrow \textrm{Im}g=\{0\}=\ker h\Rightarrow h$ es inyectiva,

$h$ es inyectiva $\Rightarrow \ker h=\{0\}=\textrm{Im}g\Rightarrow \ker g=F=\textrm{Im}f\Rightarrow f$ es sobreyectiva. La proposición es por tanto válida.

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