Diferencial de una función

Proporcionamos ejercicios sobre la diferencial de una función.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar la diferencial de la función $y=\sqrt[3]{x}+\cos x.$
  2. Hallar la diferencial y el incremento de la función $y=x^3$ para $x$ y $dx$ genéricos.
  3. Usando diferenciales, determinar aproximadamente en cuanto aumentará esl área de un cuadrado cuando su lado aumenta de $4$ cm a $4.1$ cm.
  4. Usando diferenciales, hallar aproximadamente $\sqrt{3.98}.$
  5. Sea $y=f(x)$ una función derivable en $x.$ Demostrar que $$\displaystyle\lim_{dx\to 0}\frac{\left|\Delta y-dy\right|}{\left|dx\right|}=0.$$
  6. Usando diferenciales, calcular el valor aproximado del área de un círculo cuyo radio es igual a $3.02$ cm.
  7. Deducir la fórmula aproximada $\sqrt[3]{x+dx}\approx \sqrt[3]{x}+\dfrac{dx}{3\sqrt[3]{x^2}},$ y calcular aproximadamente $\sqrt[3]{10}.$
    Solución
  1. $\quad dy=f’(x)dx=\left(\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}-\operatorname{sen}x\right)dx.$
  2. $\quad dy=f’(x)dx=3x^2dx.$
    $\Delta y=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^3-x^3=x^3+3x^2dx+3xd^2x+d^3x-x^3\\
    =3x^2dx+3xd^2x+d^3x.$
  3. El área se un cuadrado de lado $x$ es $A=x^2.$ Entonces, $\Delta A\approx dA=2xdx.$ Para $x=4$ y $dx=0.1:$ $\Delta A\approx dA=2\cdot4\cdot 0.1 =0.8\text{ cm}^2.$
  4. Sea $y=\sqrt{x}.$ Su diferencial es $dy=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ Si $x=4$ y $dx=-0.02,$ entonces, $$\Delta y=\sqrt{4+(-0.02)}-\sqrt{4}=\sqrt{3.98}-2.$$ Obtenemos: $\sqrt{3.98}=2+\Delta y\approx 2+\dfrac{1}{2\sqrt{4}}(-0.02)=2-0.005=1.995.$
  5. Tenemos las implicaciones: $$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\Rightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f’(x)\right)=0$$ $$\Rightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-f’(x)h}{h}=0$$ $$\Rightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\left |\frac{f(x+h)-f(x)-f’(x)h}{h}\right|=0\Rightarrow\displaystyle\lim_{dx\to 0}\frac{\left|\Delta y-dy\right|}{\left|dx\right|}=0.$$
  6. Usando la fórmula del área de un círculo $A=\pi r^2$ y haciendo $r=3,$ $dr=0.02:$ $\Delta A\approx dA=2\pi r dr=2\pi\cdot 3\cdot 0.02=0.12\pi.$
  7. Sea $y=\sqrt[3]{x},$ entonces: $$\Delta y=\sqrt[3]{x+dx}-\sqrt[3]{x},\quad dy=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}dx.$$ Por tanto, $\Delta y\approx dy$ equivale a: $$\sqrt[3]{x+dx}\approx \sqrt[3]{x}+\dfrac{dx}{3\sqrt[3]{x^2}}.\qquad (1)$$ Eligiendo $x=8,$ $dx=2$ y usando $(1):$ $$\sqrt[3]{10}\approx \sqrt[3]{8}+\dfrac{2}{3\sqrt[3]{8^2}}=2+\dfrac{1}{6}=\dfrac{13}{6}.$$
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.