Proyección estereográfica

Enunciado
Se llama esfera de Riemann a la esfera $$S=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3:x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}.$$ Sea $\mathbb{C}_{\infty}=\mathbb{C}\cup \{\infty\}$ el pano complejo ampliado. Definimos la aplicación: $$\phi:\mathbb{C}_{\infty}\to S\;,\quad \left \{ \begin{matrix} \phi(x+iy)=M & \mbox{ si }& x+iy\in\mathbb{C}\\\phi(\infty)=(0,0,1).\end{matrix}\right. $$ en donde $M$ es el punto (distinto del $(0,0,1)$) en el que la recta de $ \mathbb{R}^3$ que pasa por $(x,y,0)$ y $(0,0,1)$ corta a la esfera. A la aplicación $\phi$ se la llama proyección estereográfica.

1.  Demostrar que las ecuaciones de la proyección estereográfica son $$\phi (x+iy)=\left(\dfrac{2x}{|z|^2+1},\dfrac{2y}{|z|^2+1},\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)\mbox{ si } z=x+iy\in\mathbb{C}.$$ 2.  Demostrar que las ecuaciones de la inversa de la proyección estereográfica son $$\phi^{-1}(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{x_1+x_2i}{x_3-1}\quad\mbox{si}\quad (x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1).$$ 3.  Definimos en $\mathbb{C}_{\infty}$ la distancia (llamada distancia cordal) de la forma: $$d_{\infty}(z,w)=d_2(\phi(z),\phi(w))\;,\quad \forall{z} \forall{w}\in \mathbb{C}_{\infty} ,$$ en donde $d_2$ representa la distancia euclídea en $\mathbb{R}^3$. Demostrar que: $$d_{\infty}(z,w)=\dfrac{2|z-w|}{\sqrt{1+|z|^2}\;\sqrt{1+|w|^2}}\quad\mbox {si}\quad z,w\in \mathbb{C},$$ $$
d_{\infty}(z,\infty)=\dfrac{2}{\sqrt{1+|z|^2}}\quad\mbox {si}\quad z\in \mathbb{C}.$$

Solución
1.  Un vector de dirección de la recta $r$ que pasa por $(x,y,0)$ y $(0,0,1)$ es $(x,y,-1).$ Por tanto unas ecuaciones paramétricas de $r$ son $X=\lambda x.\;Y=\lambda y,\;Z=1-\lambda$. Obligando a que corten a $S:$ $$\lambda^2x^2+\lambda^2y^2+(1-\lambda)^2=1\mbox{ o bien }\lambda(\lambda(x^2+y^2+1)-2)=0$$ Obtenemos $\lambda=0$ o $\lambda=2/(x^2+y^2+1)$. Para $\lambda=0$ obtenemos el punto $(0,0,1)$, en consecuencia el punto de corte $M$ corresponde a $$\lambda=2/(x^2+y^2+1)=2/(|z|^2+1).$$ Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas: $$M=\phi (x+iy)=\left(\dfrac{2x}{|z|^2+1},\dfrac{2y}{|z|^2+1},\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)\mbox{ si } z=x+iy\in\mathbb{C}.$$ 2.  Por consideraciones geométricas es claro que $\phi$ es biyectiva lo cual implica que existe $\phi^{-1}$. Si $\phi^{-1}(x_1,x_2,x_3)=x+iy$ entonces, existe $\mu\in\mathbb{R}$ tal que $$x_1=\mu x\;,\;x_2=\mu y\;,\;x_3=1-\mu.$$ Eliminando $\mu$ de entre estas ecuaciones obtenemos: $$\phi^{-1}(x_1,x_2,x_3)=x+iy=\dfrac{x_1+x_2i}{x_3-1}\quad\mbox{si}\quad (x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1) .$$ 3.  Llamemos $z=x+iy$ y $w=u+iv$. Sean $\phi(z)=(x_1,x_2,x_3)$ y $\phi(z)=(y_1,y_2,y_3)$. Usando que $x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=1:$ $$d_{\infty}(z,w)^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2$$ $$=2(1-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3).$$ Usando las ecuaciones de $\phi:$ $$d_{\infty}(z,w)^2=2\left(1-\dfrac{4xu+4yv+(|z|^2-1)(|w|^2-1)}{(|z|^2+1)(|w|^2+1)}\right)$$ $$=\dfrac{4(|z|^2+|w|^2-2xu-2yv)}{(|z|^2+1)(|w|^2+1)}.$$ Por otra parte $$|z-w|^2=(z-w)(\bar{z}-\bar{w})=z\bar{z}-w\bar{z}-z\bar{w}+w\bar{w}=|z|^2-\overline{\bar{w}z}-z\bar{w}+|w|^2$$ $$ |z|^2+|w|^2-2\textrm{Re}\;(z\bar{w})=|z|^2+|w|^2-2xu-2yv.$$ Queda por tanto $$d_{\infty}(z,w)=\dfrac{2|z-w|}{\sqrt{1+|z|^2}\;\sqrt{1+|w|^2}}\quad\mbox {si}\quad z,w\in \mathbb{C}.$$ Por último, para todo $z\in\mathbb{C}:$ $$d_{\infty}(z,\infty)^2=x_1^2+x_2^2+(x_3-1)^2=2(1-x_3)=2\left(1-\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)$$ $$=\dfrac{4}{|z|^2+1} \Rightarrow d_{\infty}(z,\infty)=\dfrac{2}{\sqrt{1+|z|^2}}.$$

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