Derivada de $ (g\circ f^{-1})’(6) $

Enunciado
Hallar $ (g\circ f^{-1})’(6) ,$ siendo: $$  f(x)=x^3+2x^2+3x\;,\qquad g(x)=\dfrac{x^3+6x^2+9x+5}{x^4+1}.$$

(Propuesto en examen de prueba numérica, Cálculo, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Usando los teoremas de la derivada de la función compuesta e inversa: $$ (g\circ f^{-1})’(6)=g’[f^{-1}(6)]\cdot (f^{-1})’(6)= g’[f^{-1}(6)]\cdot \dfrac{1}{f’(f^{-1}(6))}.$$ Determinemos $f^{-1}(6). $ Usando la definición de imagen inversa: $$  f^{-1}(6)=x_0\Leftrightarrow f(x_0)=6 \Leftrightarrow x_0^3+2x_0^2+3x_0=6.$$ La ecuación $x_0^3+2x_0^2+3x_0-6=0,$ tiene la raíz $x_0=1,$ y factorizando obtenemos $x_0^3+2x_0^2+3x_0-6=(x-1)(x_0^2+3x_0+6)=0.$ La ecuación $x_0^2+3x_0+6=0$ no tiene soluciones reales, por tanto $f^{-1}(6)=1.$ Derivemos las funciones $f$ y $g:$ $$\begin{aligned}&f’(x)=3x^2+4x+3,\\
&g’(x)=\dfrac{(3x^2+12x+9)(x^4+1)-4x^3(x^3+6x^2+9x+5)}{(x^4+1)^2}.\end{aligned}$$ Sustituyendo $x=1$ obtenemos $f’(1)=1,g’(1)=-9.$ Por tanto: $$(g\circ f^{-1})’(6)= g’(1)\cdot \dfrac{1}{f’(1)}=-\dfrac{9}{10}.$$

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