Teorema de Dini

TEORÍA

1 Se considera la sucesión de funciones  $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definida de forma recurrente por $f_0(x)=1,\; f_n(x)=\sqrt{x\;f_{n-1}(x)}.$ Demostrar que la sucesión converge en $[0,1]$ y que la convergencia es uniforme.

SOLUCIÓN

2  Demostrar el teorema de Dini:
Sea $(E,d)$ un espacio métrico compacto y $f_n:E\to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas (monótona creciente o monótona decreciente). Entonces, si $f_n\to f$ en $E$ y $f$ es continua, la convergencia es uniforme.

SOLUCIÓN
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