Teorema de Dini

Demostramos el teorema de Dini y damos un ejemplo de aplicación

Enunciado
1. Se considera la sucesión de funciones $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definida de forma recurrente por $f_0(x)=1,\; f_n(x)=\sqrt{x\;f_{n-1}(x)}.$ Demostrar que la sucesión converge en $[0,1]$ y que la convergencia es uniforme.
2. Demostrar el teorema de Dini:
   Sea $(E,d)$ un espacio métrico compacto y $f_n:E\to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas (monótona creciente o monótona decreciente). Entonces, si $f_n\to f$ en $E$ y $f$ es continua, la convergencia es uniforme.

Solución
1. Tenemos

   $$f_0(x)=1,\;f_1(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\;f_2(x)=\sqrt{x\cdot x^{1/2}}=x^{3/4},$$ $$f_3(x)=\sqrt{x\cdot x^{3/4}}=x^{7/8},\;f_4(x)=\sqrt{x\cdot x^{7/8}}=x^{15/16}.$$

   Esto sugiere la fórmula $f_n(x)=x^{(2^n-1)/2^n}$, fórmula esta fácilmente demostrable por inducción, por tanto $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)=x^1=x.$.

   La sucesión $a_n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n$ es monótona creciente. En efecto

   $a_n\leq a_{n+1}\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2^n}\leq 1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2^{n+1}}\leq -\dfrac{1}{2^{n}}\Leftrightarrow 2^n\leq 2^{n+1}.$

   y la última desigualdad es evidente. Como $0\leq x\leq 1$ se verifica

   $f_n(x)=x^{a_n}\geq x^{a_{n+1}}=f_{n+1}(x)\quad (\forall x\in [0,1]).$

   Es decir, tenemos una sucesión $f_n$ de funciones continuas, monótona decreciente sobre el compacto $[0,1]$ cuyo límite es la función continua $f(x)=x$. Como consecuencia del Teorema de Dini se verifica que la convergencia es uniforme.

2. Supongamos que $(f_n)$ es monótona creciente (el caso decreciente se demostraría de forma análoga). Sea $\epsilon>0$ y $x\in E$, entonces existe $n(x)$ entero positivo tal que $f(x)-f_m(x)<\epsilon/3$ para todo $m\geq n(x)$.Como $f$ y $f_{n(x)}$ son continuas, existe un entorno abierto $V(x)$ de $x$ tal que si $y\in V(x)$ se verifica $|f(x)-f(y)|<\epsilon/3$ y $|f_{n(x)}(x)-f_{n(x)}(y)|<\epsilon/3$. Por otra parte

   $$f(y)-f_{n(x)}(y)=\left|f(y)-f_{n(x)}(y)\right|=$$$$\left|f(y)-f(x)+f(x)-f_{n(x)}(x)+f_{n(x)}(x)-f_{n(x)}(y)\right|\leq$$$$
   \left|f(y)-f(x)\right|+\left|f(x)-f_{n(x)}(x)\right|+\left|f_{n(x)}(x)-f_{n(x)}(y)\right|<\\
   \epsilon/3+ \epsilon/3+ \epsilon/3= \epsilon.$$

   Es decir, en $V(x)$ tenemos $f(y)-f_{n(x)}(y)<\epsilon$. Dado que $\{V(x):x\in E\}$ es un recubrimiento por abiertos del espacio compacto $E$, existe un subrecubrimiento finito $\{V(x_1),\ldots,V(x_p)\}$. Sea $n_0=n(x_0)=\max \{n(x_1),\ldots,n(x_p)\}$. Para cada $x\in E$, $x$ pertenece a uno de los $V(x_i)$. Entonces, si $n\geq n_0$

   $f(x)-f_n(x)\leq f(x)-f_{n_0}(x)\leq f(x)-f_{n(x_i)}(x)<\epsilon\quad (\forall x\in E).$

   Por tanto $f_n\to f$ en $E$ uniformemente.