Convolución de dos campanas de Gauss

Enunciado
La convolución de dos funciones $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuas en $\mathbb{R}$ es la función $f*g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida mediante

$(f*g)(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(x-t)\;dt$

en el supuesto de que la integral anterior sea convergente para cada valor del parámetro $x.$ Este problema tiene por objeto determinar la convolución de dos campanas de Gauss.

(a) Calcular para cada valor real del parámetro $p$ la integral

$I(p)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2+pt}\;dt.$

(b) Dados dos números reales $\lambda$ y $\mu,$ considérense las funciones $\varphi$ y $\psi$ definidas a partir de $f$ y $g$ mediante $\varphi(x)=f(x-\lambda),\;\psi(x)=g(x-\mu).$ Establecer la relación que expresa la convolución $\varphi * \psi$ en términos de la convolución $f * g.$

(c) Calcular la convolución de las dos funciones

$\varphi (x)=\mbox{exp}\left\{-\displaystyle\frac{(x-\lambda)^2}{2a^2}\right\}\;,\quad \psi (x)=\mbox{exp}\left\{-\displaystyle\frac{(x-\mu)^2}{2b^2}\right\},$

donde $\lambda,\mu,a,b$ son números reales dados de los cuales los dos últimos son positivos.

(Propuesto en examen de Amp. de Cálculo, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Sabemos que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\{-u^2\}\;du=\sqrt{\pi}$ (integral de Euler). Podemos expresar

$-t^2+tp=-\left(t-\dfrac{p}{2}\right)^2+\dfrac{p^2}{4}.$

Usando la igualdad anterior y efectuando el cambio $u=t-p/2:$

$$I(p)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{-t^2+pt\right\}\;dt=\exp \left\{\frac{p^2}{4}\right\}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{-\left(t-\frac{p}{2}\right)^2\right\}\;dt$$ $$
=\exp \left\{\dfrac{p^2}{4}\right\}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{-u^2\right\}\;du=\exp\left\{\dfrac{p^2}{4}\right\}\sqrt{\pi}.$$

(b) Usando la definición de convolución y efectuando el cambio $u=t-\lambda:$

$$(\varphi *\psi)(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi (t)\psi (x-t)\;dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f (t-\lambda)g(x-\mu-t)\;dt$$ $$
=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)g(x-u-\lambda-\mu)\;du=(f*g)(x-\lambda-\mu).$$

(c) Elijamos las funciones $f(x)=\exp\{-x^2/2a^2\},\;g(x)=\exp\{-x^2/2b^2\}$ y hallemos $f*g:$

$\displaystyle\begin{aligned}
(f *g)(x)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{-\frac{t^2}{2a^2}\right\}\exp\left\{-\frac{(x-t)^2}{2b^2}\right\}\;dt\\
&=\exp \left\{-\frac{x^2}{2b^2}\right\}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left\{-\frac{t^2}{2a^2}+\frac{xt}{b^2}-\frac{t^2}{2b^2}\right\}\;dt\\
&=\exp\left\{-\frac{x^2}{2b^2}\right\}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{-\frac{t^2}{2}\;\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{xt}{b^2}\right\}\;dt.
\end{aligned}$

Efectuando el cambio de variable $u=\dfrac{t}{\sqrt{2}}\;\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}:$

$$(f *g)(x)=\exp\left\{-\dfrac{x^2}{2b^2}\right\}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{ -u^2+\frac{x}{b^2}\;\frac{\sqrt{2}abu}{\sqrt{a^2+b^2}} \right\}\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\;du$$ $$
=\dfrac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\exp\left\{-\dfrac{x^2}{2b^2}\right\}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{ -u^2+pu \right\}du\quad \left(p=\frac{\sqrt{2}ax}{b\sqrt{a^2+b^2}}\right).$$

Por el apartado (a):

$I(p)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\exp \left\{ -u^2+pu \right\}du=\exp\left\{\dfrac{p^2}{4}\right\}\sqrt{\pi}=\exp\left\{\dfrac{a^2x^2}{2b^2(a^2+b^2)}\right\}\sqrt{\pi}.$

Simplificando las exponenciales queda:

$(f*g)(x)=\dfrac{\sqrt{2\pi}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\exp\left\{-\dfrac{x^2}{2(a^2+b^2)}\right\}.$

Usando el apartado (b):

$(\varphi * \psi)(x)=(f*g)(x-\lambda-\mu)=\dfrac{\sqrt{2\pi}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\exp\left\{-\dfrac{(x-\lambda-\mu)^2}{2(a^2+b^2)}\right\}.$

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