Relaciones de inclusión y pertenencia

Proporcionamos un ejercicio sobre relaciones de inclusión y pertenencia.

Enunciado
Analizar cuales de las siguientes fórmulas son ciertas para todo conjunto $A:$
$(1)\; \emptyset\in\emptyset.\quad (2)\;\emptyset\in\{\emptyset\}.\quad (3)\;\emptyset\subset\emptyset.\quad (4)\;\emptyset\in A.\quad (5)\;\emptyset\subset A.$
$(6)\;A\in A.\quad (7)\;A\in\{A\}.\quad (8)\;A\subset A.\quad (9)\;A\in\mathcal{P}(A).\quad (10)\;A\subset \mathcal{P}(A).$

Solución
$(1)$ Falsa. $\emptyset$ no tiene elementos.

$(2)$ Cierta. $\{\emptyset\}$ es un conjunto, y $\emptyset$ es elemento de $\{\emptyset\}$.

$(3)$ Cierta. El vacío está contenido en todo conjunto, en particular $\emptyset\subset\emptyset$.

$(4)$ Falsa. Basta considerar $A=\emptyset$ y aplicar el apartado $(1)$.

$(5)$ Cierta. El vacío está contenido en todo conjunto.

$(6)$ Falsa. Basta considerar $A=\emptyset$ y aplicar el apartado $(4)$.

$(7)$ Cierta. $\{A\}$ es un conjunto, y $A$ es elemento de $\{A\}$.

$(8)$ Cierta. Si $x\in A$, entonces $x\in A$.

$(9)$ Cierta. Al ser $A$ es subconjunto de $A$, se verifica $A\in\mathcal{P}(A)$.

$(10)$ Falsa. Si $A=\{1\}$ entonces $\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\}\}$. Se verifica $1\in A$, pero $1\not\in\mathcal{P}(A)$. Por tanto $A$ no está contenido en $\mathcal{P}(A)$

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