Relaciones de inclusión y pertenencia

Proporcionamos un ejercicio sobre relaciones de inclusión y pertenencia.

    Enunciado
    Analizar cuales de las siguientes fórmulas son ciertas para todo conjunto $A:$
  1. $\emptyset\in\emptyset.$
  2. $\emptyset\in\{\emptyset\}.$
  3. $\emptyset\subset\emptyset.$
  4. $\emptyset\in A.$
  5. $\emptyset\subset A.$
  6. $A\in A.$
  7. $A\in\{A\}$.
  8. $A\subset A.$
  9. $A\in\mathcal{P}(A).$
  10. $A\subset \mathcal{P}(A).$
    Solución
  1. Falsa. $\emptyset$ no tiene elementos.
  2. Cierta. $\{\emptyset\}$ es un conjunto, y $\emptyset$ es elemento de $\{\emptyset\}$.
  3. Cierta. El vacío está contenido en todo conjunto, en particular $\emptyset\subset\emptyset$.
  4. Falsa. Basta considerar $A=\emptyset$ y aplicar el apartado $1.$
  5. Cierta. El vacío está contenido en todo conjunto.
  6. Falsa. Basta considerar $A=\emptyset$ y aplicar el apartado $4$.
  7. Cierta. $\{A\}$ es un conjunto, y $A$ es elemento de $\{A\}$.
  8. Cierta. Si $x\in A$, entonces $x\in A$.
  9. Cierta. Al ser $A$ es subconjunto de $A$, se verifica $A\in\mathcal{P}(A)$.
  10. Falsa. Si $A=\{1\}$ entonces $\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\}\}$. Se verifica $1\in A$, pero $1\not\in\mathcal{P}(A)$. Por tanto $A$ no está contenido en $\mathcal{P}(A)$
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.