Derivabilidad según parámetros

Estudiamos la derivabilidad de una función según parámetros.

Enunciado
Sea la función  $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $$f(x)=\left \{ \begin{matrix}{ \dfrac{x-1}{x^2}+\beta}&\mbox{ si }& x\geq 1\\\arctan \;(\log x) & \mbox{si}& 0<x<1\\\operatorname{sen} x+\alpha & \mbox{si}& x\leq 0,\end{matrix}\right.$$ donde $\arctan t\in(-\pi/2,\pi/2)$ para todo $t.$ Analizar la derivabilidad de $f$ en cada punto de su dominio de definición, según los valores de $\alpha$ y $\beta\in\mathbb{R}.$

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Primer caso: $x\in (1,+\infty).$ Existe un intervalo abierto $I\subset (1,+\infty)$ que contiene a $x$ en donde la función $f$ está definida, es elemental y viene dada por $$f:I\to \mathbb{R}\;,\quad f(t)=\dfrac{t-1}{t^2}+\beta.$$ Aplicando conocidos teoremas de derivación: $$f’(t)=\dfrac{1\cdot t^2-2t(t-1)}{t^4}=\dfrac{-t^2+2t}{t^4}=\dfrac{-t+2}{t^3}.$$ Podemos pues concluir que $f$ es derivable en $x$ y que $$f’(x)=\dfrac{-x+2}{x^3}.$$

Segundo caso: $x\in (0,1).$ Existe un intervalo abierto $J\subset (0,1)$ que contiene a $x$ en donde la función $f$ está definida, es elemental y viene dada por $$f:J\to \mathbb{R}\;,\quad f(t)=\arctan\;(\log t).$$ Aplicando conocidos teoremas de derivación: $$f’(t)=\dfrac{1}{1+\log^2t}\cdot\dfrac{1}{t}.$$ Podemos pues concluir que $f$ es derivable en $x$ y que $$f’(x)=\dfrac{1}{1+\log^2x}\cdot\dfrac{1}{x}.$$

Tercer caso: $x\in (-\infty,0).$ Procedemos de manera análoga a los casos anteriores. Existe un intervalo abierto $K\subset (-\infty,0)$ que contiene a $x$ en donde la función $f$ está definida, es elemental y viene dada por $f:K\to \mathbb{R},\; f(t)=\operatorname{sen}t+\alpha.$ De nuevo, aplicando conocidos teoremas de derivación, $f’(t)=\cos t.$ Podemos pues concluir que $f$ es derivable en $x$ y que $f’(x)=\cos x.$

Cuarto caso: $x=1.$ La función no es elemental en ningún intervalo abierto que contiene a $1,$ por tanto aplicaremos a este punto la definición de derivabilidad. Para que sea derivable ha de ser continua, veamos cuando ocurre. $$\displaystyle\lim_{x \to 1^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\arctan\;(\log x)=\arctan 0=0,$$ $$\displaystyle\lim_{x \to 1^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\left( \dfrac{x-1}{x^2}+\beta\right)=\beta.$$ Existe pues $\lim_{x \to 1}f(x)$ si y sólo si $\beta=0,$ siendo en éste caso $f(1)=0=\lim_{x \to 1}f(x)$ (y por tanto continua en $1$). Es decir, para que $f$ sea derivable en $1,$ obligatoriamente $\beta=0.$ Analicemos las derivadas laterales: $$f’_+(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$$$=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{\frac{h}{(1+h)^2}-0}{h}
=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{1}{(1+h)^2}=1.$$ Usando $\arctan \epsilon\sim \epsilon$ y $\log (1+\epsilon)\sim \epsilon$ cuando $\epsilon\to 0:$ $$f’_-(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{\arctan\;(\log (1+h))}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{\log (1+h)}{h}=1.$$ Por tanto,  $f$ sólo es derivable en $x=1$ cuando $\beta=0,$ siendo $f’(1)=1.$

Quinto caso: $x=0.$ Como antes, la función no es elemental en ningún intervalo abierto que contiene a $0,$ por tanto aplicaremos a este punto la definición de derivabilidad. Veamos primeramente cuando es continua. $$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}(\operatorname{sen} x+\alpha)=\alpha,$$ $$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\arctan(\log x)=\arctan (-\infty)=-\pi/2.$$ Como $f(0)=\alpha,$ la función es continua en $0$ si y sólo si $\alpha=-\pi/2.$ Veamos si en este caso es derivable. $$f’_-(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{\operatorname{sen}h-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}}{h}=1,$$ $$f’_+(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{\arctan (\log h)+\frac{\pi}{2}}{h}=+\infty.$$ No existe $f’_+(0)$ finita y por tanto, $f$ no es derivable en $0.$ De todos los casos analizados podemos concluir que para todo $\alpha$ y para todo $\beta,$ $f$ es derivable en $\mathbb{R}-\{0,1\},$ es derivable en $1$ si y sólo si $\beta=0,$ y no es derivable en $0$ para ningún $\alpha$ y $\beta.$[

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