Derivada simétrica

Estudiamos la derivada simétrica de una función.

    Enunciado
    Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Se define la derivada simétrica de $f$ en un punto $x_0$ y se designa por $f’_s(x_0)$, al siguiente límite si existe y es finito $$f’_s(x_0)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$$
  1. Estudiar la existencia en el punto $x_0=0$ de la derivada simétrica, y calcularla en los casos que exista, para las siguientes funciones $$f_1(x)=e^x\;,\quad f_2(x)=\left|x\right|\;,\quad f_3(x)=\left \{ \begin{matrix} x\sin \displaystyle\frac{1}{x} & \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0.\end{matrix}\right.$$
  2. Demostrar que si existe la derivada ordinaria $f’(x_0)$ de la función $f$ en el punto $x_0,$ entonces existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ y hallar la relación entre ambas. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dando una demostración o construyendo un contraejemplo.
  3. Demostrar que si existen las derivadas a la derecha y a la izquierda $f’_+(x_0)$ y  $f’_-(x_0)$ de la función $f$ en el punto $x_0,$ entonces existe la derivada simétrica $f’_s(x_0)$ y hallar la relación entre ambas. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dando una demostración o construyendo un contraejemplo.

    (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

    Solución
  1. Tenemos $$(f_1)’_s(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{e^h-e^{-h}}{2h}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}=
    \displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{e^h+e^{-h}}{2}=1.$$ Hemos usado la regla de L’Hopital. $$(f_2)’_s(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\left|h\right|-\left |-h\right|}{2h}=
    \displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{0}{2h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0.$$ $$(f_3)’_s(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{h\sin \frac{1}{h}-(-h)\sin \left(-\frac{1}{h}\right)}{2h}=
    \displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{0}{2h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0.$$ Hemos usado que el producto de un infinitésimo por una función acotada es también un infinitésimo. Podemos concluir que existen las derivadas simétricas de las tres funciones dadas en $x_0=0.$
  2. Podemos expresar $$\begin{aligned}&\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{2h}\\
    &=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}.\end{aligned}$$ Tomando límites y teniendo en cuenta que existe $f’(x_0):$ $$f’_s(x_0)=\displaystyle\frac{1}{2}f’(x_0)+\displaystyle\frac{1}{2}f’(x_0)=f’(x_0).$$ Es decir, si existe la derivada ordinaria de una función en un punto, entonces existe también su derivada simétrica en dicho punto y ambas coinciden.  El enunciado recíproco es:
    Si existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ entonces existe la derivada ordinaria $f’(x_0).$
    Este enunciado es falso. En efecto, es bien sabido que para la función $f_2(x)=\left|x\right|$ no existe la derivada $f’_2(0),$ sin embargo existe $(f’_2)_s(0)$ como se demostró en el apartado anterior.
  3. Por hipótesis existen $f’_+(x_0)$ y $f’_-(x_0).$ Veamos que existe $f’_s(x_0).$ Tenemos: $$\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{2h}\\
    &=
    \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{h\to 0^+}\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{h\to 0^+}\displaystyle\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\\
    &=\displaystyle\frac{1}{2}f’_+(x_0)+\displaystyle\frac{1}{2}f’_-(x_0).\end{aligned}$$ En la última igualdad hemos usado que $-h<0.$ Razonando de manera análoga obtenemos: $$\displaystyle\lim_{h \to 0^-} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\ldots=\displaystyle\frac{1}{2}f’_-(x_0)+\displaystyle\frac{1}{2}f’_+(x_0).$$ Hemos demostrado por tanto que si existen $f’_+(x_0)$ y  $f’_-(x_0),$ entonces existe $f’_s(x_0)$ y además $f’_s(x_0)=(1/2)(f’_+(x_0)+f’_-(x_0)).$ El enunciado recíproco es:
    Si existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ entonces existen las derivadas $f’_+(x_0)$ y $f’_-(x_0).$
    Este enunciado es falso. En efecto, para la función $f_3(x)$ del apartado $(a)$ existe la derivada simétrica en $0$ según demostramos. Ahora bien, $$\displaystyle\frac{f_3(0+h)-f_3(0)}{h}=\displaystyle\frac{h\sin (1/h)-0}{h}=\sin (1/h).$$ Si $h\to 0^+$ entonces $1/h\to +\infty,$ por tanto no existe $(f’_3)_+(0).$
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