Derivada simétrica

Estudiamos la derivada simétrica de una función.

Enunciado
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Se define la derivada simétrica de $f$ en un punto $x_0$ y se designa por $f’_s(x_0)$, al siguiente límite si existe y es finito $$f’_s(x_0)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$$

$(a)$ Estudiar la existencia en el punto $x_0=0$ de la derivada simétrica, y calcularla en los casos que exista, para las siguientes funciones $$f_1(x)=e^x\;,\quad f_2(x)=\left|x\right|\;,\quad f_3(x)=\left \{ \begin{matrix} x\sin \displaystyle\frac{1}{x} & \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0.\end{matrix}\right.$$ $(b)$ Demostrar que si existe la derivada ordinaria $f’(x_0)$ de la función $f$ en el punto $x_0,$ entonces existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ y hallar la relación entre ambas. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dando una demostración o construyendo un contraejemplo.

$(c)$ Demostrar que si existen las derivadas a la derecha y a la izquierda $f’_+(x_0)$ y  $f’_-(x_0)$ de la función $f$ en el punto $x_0,$ entonces existe la derivada simétrica $f’_s(x_0)$ y hallar la relación entre ambas. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dando una demostración o construyendo un contraejemplo.

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

SOLUCIÓN

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