Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz

Usamos una ecuación diferencial y la fórmula de Leibniz para calcular la dervada enésima de una función en el origen.

Enunciado
Dada la función $y=(\textrm{Argsh}\;x)^2,$
a) Demostrar que se verifica la igualdad $(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy’=2$.
b) Utilizando la igualdad anterior y la fórmula de Leibniz hallar una expresión que proporcione la derivada de cualquier orden en $x=0$.

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Minas, UPM).

Solución
a)  Tenemos  $ y’=2(\textrm{Argsh}\; x) \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$  o bien  $\sqrt{1+x^2}y’=2\textrm{Argsh}\; x $. Derivando la última expresión: $$ \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}y’+\sqrt{1+x^2}y^{\prime\prime}=\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}.$$ Multiplicando ambos miembros por  $\sqrt{1+x^2}$  obtenemos: $$(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy’=2 .\qquad (1)$$  b)  La fórmula de Leibniz para la derivada de orden  $n-2$  del producto de dos  funciones  $u$  y  $v$  es: $$(uv)^{(n-2)}=u^{(n-2)}v+\binom{n-2}{1}u^{(n-3)}v’+\binom{n-2}{2}u^{(n-4)}v^{\prime\prime}+\ldots+ uv^{(n-2)}.$$ Eligiendo  $u=y^{\prime\prime}, v=1+x^2$  obtenemos $$(y^{\prime\prime}(1+x^2))^{(n-2)}=y^{(n)}(1+x^2)+\binom{n-2}{1}y^{(n-1)}2x+ \binom{n-2}{2}y^{(n-2)}2$$ $$+0+\ldots+0.$$ Para  $x=0:$ $$(y^{\prime\prime}(1+x^2))^{(n-2)}(0)=y^{(n)}(0)+2\binom{n-2}{2}y^{(n-2)}(0)$$ $$=y^{(n)}(0)+(n-2)(n-3)y^{(n-2)}(0).\qquad(2)$$ Eligiendo ahora  $u=y’,v=x: $ $$(y’x)^{(n-2)}=y^{(n-1)}x+\binom{n-2}{1}y^{(n-2)}1+0+\ldots+0.$$ Para  $x=0:$ $$(y’x)^{(n-2)}(0)=\binom{n-2}{1}y^{(n-2)}(0)=(n-2)y^{(n-2)}(0).\qquad (3)$$ Derivando  $ n-2$  veces la igualdad (1), sustituyendo  $x=0$  y usando (2) y (3): $$y^{(n)}(0)+(n-2)(n-3)y^{(n-2)}+(n-2)y^{(n-2)}=0.$$ Despejando  $y^{(n)}(0)$  obtenemos  $y^{(n)}(0)=-(n-2)^2y^{(n-2)}(0)$. Por tanto, conociendo  $ y’(0),y”(0)$  tendremos la fórmula que nos da la derivada de orden  $n$  de  $y$ en  $x=0$. Del apartado a) deducimos que  $y’(0)=0$  y que  $y”(0)=2$. Esto implica que las derivadas de orden impar son todas nulas. Hallemos las de orden par: $$\begin{aligned}&y”(0)=2,\\
&y^{(4)}(0)=-(4-2)^22=-2^22,\\
&y^{(6)}(0)=-(6-2)^2(-2^22)=4^22^22,\\
&y^{(8)}(0)=-(8-2)^2(4^22^22)=-6^24^22^22,\\
&\ldots \\
& y^{(n)}(0)=(-1)^{\frac{n}{2}+1} 2(n-2)^2(n-4)^2\cdot \ldots\cdot 2^2.\end{aligned}$$ Podemos pues expresar  $y^{(n)}(0)\;(n\geq 1)$  de la siguiente manera: $$ y^{(n)}(0)=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si }& n \mbox { impar}\\(-1)^{\frac{n}{2}+1}2((2n-2)!!)^2 & \mbox{si}& n \mbox{ par}.\end{matrix}\right.$$

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