Cálculo de un difeomorfismo enderezante

Calculamos un difeomorfismo enderezante.

Enunciado
Hallar un difeomorfismo enderezante $f$ para el sistema diferencial

$\left \{ \begin{matrix}x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.$

y que cumpla $f(0,b)=(0,b)$ (para cada $b$). Comprobar.

 (Prob. examen, Ampliación de Matemáticas, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Para todo $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ se verifica $1+x_1^2\neq 0$. Esto implica que el sistema no tiene puntos de equilibrio. Por un conocido teorema, existen $V,W\subset \mathbb{R}^2$ abiertos que contienen a $(0,b)$ y un difeomorfismo (difeomorfismo enderezante) $f:V\to W$ tal que $f(0,b)=(0,b)$ y el sistema dado se transforma por $f$ en el sistema equivalente

$\left \{ \begin{matrix}y’_1=1\\y’_2=0.\end{matrix}\right.\qquad (*)$

Resolvamos el sistema autónomo dado con la condición inicial $(x_1(0),x_2(0))=(0,b)$. De la primera ecuación:

$x’_1=1+x_1^2 \Leftrightarrow \dfrac{dx_1}{1+x_1^2}-dt=0 \Leftrightarrow \arctan x_1=t+C.$

Imponiendo la condición $x_1(0)=0$ queda $\arctan x_1=t$. Sustituyendo en la segunda ecuación:

$$x’_2=(-2\tan t) x_2 \Leftrightarrow \dfrac{dx_2}{x_2}+2\tan t\; dt=0 \Leftrightarrow$$ $$ \log |x_2|-2\log |\cos x|=C\Leftrightarrow
\log \left |\dfrac{x_2}{\cos^2t}\right |=C \Leftrightarrow x_2=K\cos^2t.$$

Imponiendo la condición $x_2(0)=b$ queda $ x_2=b\cos^2t$. La solución del sistema $(*)$ con la condición inicial $(y_1(0),y_2(0))=(0,b)$ es $y_1=t,\;y_2=b$. Eliminando $t$ y $b:$

$\left \{ \begin{matrix}\arctan x_1=t\\x_2=b\cos^2t\end{matrix}\right.\;\wedge\; \left \{ \begin{matrix} y_1=t\\y_2=b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}y_1=\arctan x_1\\y_2=x_2\sec^2t=\\x_2(1+\tan^2 t)=x_2(1+x_1^2).\end{matrix}\right.$

El difeomorfismo pedido es por tanto

$f(x_1,x_2)=\left (\arctan x_1,x_2(1+x_1^2)\right ) .$

Comprobemos el resultado:

(a) $f(0,b)=(\arctan 0,b(1+0^2))=(0,b).$

(b) Las funciones componentes de $f$ son claramente de clase 1 en $\mathbb{R}^2$, por tanto $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2).$

(c)  $f$ es inyectiva. En efecto $$f(x_1,x_2)=f(x_1^*,x_2^*)\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}\arctan x_1=\arctan x_1^*\\x_2(1+x_1^2)=x^*_2\left(1+(x_1^*)^2\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\\\left \{ \begin{matrix}x_1= x_1^*\\x_2(1+x_1^2)=x^*_2\left(1+(x_1^*)^2\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x_1= x_1^*\\x_2=x^*_2\end{matrix}\right.\Rightarrow (x_1,x_2)=(x_1^*,x_2^*).$$
(d) $f:\mathbb{R}^2\to (-\pi/2,\pi/2)\times \mathbb{R}$ es sobreyectiva. En efecto, si $(y_1,y_2)\in (-\pi/2,\pi/2)\times \mathbb{R}$ entonces el sistema

$\left \{ \begin{matrix}\arctan x_1=y_1\\x_2(1+x_1^2)=y_2\end{matrix}\right.$

tiene como solución $x_1=\tan y_1,\;x_2=y_2/(1+\tan^2y_1)$ lo cual permite además determinar la aplicación inversa de $f:$

$f^{-1}:(-\pi/2,\pi/2)\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2\;,\quad f^{-1}(y_1,y_2)=\left(\tan y_1,\dfrac{y_2}{1+\tan^2y_1}\right)$

que claramente es de clase 1. Concluimos que $f$ es difeomorfismo. Falta demostrar que el campo $v$ del sistema dado se transforma en el $w=(1,0)^t$ por medio de $f$. En efecto,

$$w(y_1,y_2)=(Df(x)\circ v\circ f^{-1})(y_1,y_2)=(Df(x)\circ v)(x_1,x_2)$$ $$
=Df(x)(1+x_1^2,-2x_1x_2)=\begin{bmatrix}{\frac{1}{1+x_1^2}}&{\;\;0}\\{2x_1x_2}&{1+x_1^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1+x_1^2}\\{-2x_1x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}.$$

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