Concepto de anillo

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de anillo.

TEORÍA

1  Demostrar (de manera esquemática) que $(\mathbb{Z},+,\cdot)$, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ son anillos conmutativos y unitarios  en donde $+$ y $\cdot$ representan en cada caso la suma y el producto habituales.

SOLUCIÓN

2  Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes reales. Demostrar (esquemáticamente) que $(\mathbb{R}[x],+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario en donde $+$ y $\cdot$ representan la suma y producto habituales.

SOLUCIÓN

3   Sea $\mathbb{R}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden $n$. Demostrar (esquemáticamente) que $(\mathbb{R}^{n\times n}+,\cdot)$ es anillo unitario y no conmutativo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones usuales suma y producto de matrices.

SOLUCIÓN

4  Sea $A$ el conjunto de los números enteros pares. Demostrar que $(A,+,\cdot)$ es anillo conmutativo y no unitario en donde $+$ y $\cdot$ representan la suma y producto habituales de números enteros.

SOLUCIÓN

5   En el conjunto de los números reales se definen las operaciones $$x*y=x+y+4,\quad x\circ y=xy+4 x+4 y +12.$$ Demostrar que $(\mathbb{R},*,\circ)$ es anillo conmutativo.

SOLUCIÓN

6  En el conjunto $P=\{2x:x\in\mathbb{Z}\}$ se definen las operaciones $+$ habitual y $\circ,$ definida mediante $a\circ b=2ab.$ Demostrar que $(P,+,\circ)$ es anillo conmutativo y no unitario.

SOLUCIÓN

7  En el conjunto $\mathbb{Z}$ se definen las operaciones: $$a*b=a+b-1,\quad a\circ b=a+b-ab.$$ Demostrar que $(\mathbb{Z,*,\circ)}$ es anillo conmutativo con elemento unidad.

SOLUCIÓN

8  Demostrar que en un anillo $A$ con elemento unidad, la conmutatividad de la suma se puede deducir a partir de los restantes axiomas.

SOLUCIÓN
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