Coseno de una matriz

Calculamos el coseno de una matriz.

Enunciado
Calcular $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}A\right)$ siendo $A=\begin{bmatrix}{-1/3}&{\;\;2/3}&{-2/3}\\{\;\;2/3}&{-1/3}&{-2/3}\\{-2/3}&{-2/3}&{-1/3}\end{bmatrix}.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
Podemos expresar $\dfrac{\pi}{4}A=\dfrac{\pi}{12}B,$ siendo $$B=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;2}&{-2}\\{\;\;2}&{-1}&{-2}\\{-2}&{-2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos los valores y vectores propios de $B$ $$\det (B-\lambda I)=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;2}&{-2}\\{\;\;2}&{-1-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-2}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-3-\lambda}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}\\
=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\\{-4}&{\;\;0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(-3-\lambda)(\lambda^2-9)=0 \Leftrightarrow -(\lambda-3)(\lambda+3)^2=0.$$ Los valores propios de $B$ son $\lambda_1=3$ simple y $\lambda_2=-3$ doble. Los subespacios propios son $$V_{\lambda_1}\equiv \left \{ \begin{matrix} -4x_1+2x_2-2x_3=0\\{}\;\;\;2x_1-4x_2-2x_3=0\\-2x_1-2x_2-4x_3=0,\end{matrix}\right. \qquad V_{\lambda_2}\equiv \left \{ \begin{matrix} \;\;\;2x_1+2x_2-2x_3=0\\ \;\;\:2x_1+2x_2-2x_3=0\\-2x_1-2x_2+2x_3=0.\end{matrix}\right.$$ Hallando unas bases de estos subespacios obtenemos respectivamente $$B_{\lambda_1}=\{(1,1,-1)^t\}\quad,\quad B_{\lambda_2}=\{(-1,1,0)^t,(-1,0,1)^t\}.$$ La matriz $B$ es por tanto diagonalizable y además $$P^{-1}BP=D=\begin{bmatrix}{3}&{\;\;0}&{\;\;0}\\{0}&{-3}&{\;\;0}\\{0}&{\;\;0}&{-3}\end{bmatrix}\text{ si }
P=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{-1}&{-1}\\{\;\;1}&{\;\;1}&{\;\;0}\\{-1}&{\;\;0}&{\;\;1}\end{bmatrix}.$$ Como consecuencia $$B=PDP^{-1}\Rightarrow \dfrac{\pi}{4}A=\dfrac{\pi}{12}PDP^{-1}=P\;\begin{bmatrix}{\pi/4}&{\;\;0}&{\;\;0}\\{0}&{-\pi/4}&{\;\;0}\\{0}&{\;\;0}&{-\pi/4}\end{bmatrix}\;P^{-1}.$$ Es decir, la matriz $(\pi/4)A$ es diagonalizable y la función $f(x)=\cos x$ toma sus valores en el espectro de $(\pi/4)A$ , por tanto $$\cos \left(\dfrac{\pi}{4}A\right)=P\cdot  \cos\; \begin{bmatrix}{\pi/4}&{\;\;0}&{\;\;0}\\{0}&{-\pi/4}&{\;\;0}\\{0}&{\;\;0}&{-\pi/4}\end{bmatrix} \cdot P^{-1}=P\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}I\right)P^{-1}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}I.$$

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