Cotas de las raíces de un polinomio

En este problema, damos cotas de las raíces de un polinomio.

Enunciado
Sea $f(z)=a_nz^n+\ldots +a_1z+a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $a_n\neq 0$ y $c$ una raíz de $f(z)$. Demostrar que $|c|\leq M$ siendo $$M=\max\left \{\left(n\left| \frac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{1/i}:i=1,\ldots,n\right\}.$$ Solución
Supongamos que $\left|z\right|>M$, entonces $$\left|z\right|>\left(n\left|\dfrac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{\frac{1}{i}}\;(\forall i=1,\ldots,n)\Rightarrow \left|z\right|^i>n\dfrac{\left|a_{i-1}\right|}{\left|a_n\right|}\;\;(\forall i=1,\ldots,n)$$ $$\Rightarrow\left|a_{n-i}\right|<\dfrac{\left|a_n\right|\left|z\right|^i}{n} \;\;(\forall i=1,\ldots,n)\Rightarrow\left|a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0\right|$$ $$\leq\left|a_{n-1}\right|\left|z\right|^{n-1}+\ldots+\left|a_1\right|\left|z\right|+\left|a_0\right|<\dfrac{\left|a_n\right|\left|z\right|^n}{n}+\ldots+\dfrac{\left|a_n\right|\left|z\right|^n}{n}=\left|a_nz^n\right|.$$

Es decir, si $\left|z\right|>M$ tendríamos $\left|a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0\right|<\left|-a_nz^n\right|$ y por tanto $z$ no puede ser raíz de $f(z)$.

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