Función holomorfa biperiódica

Definimos función holomorfa biperiódica y estudiamos sus propiedades.

Enunciado
Sea $f$ una función holomorfa en $\mathbb{C}$ salvo por una cantidad finita de polos y que verifica

$\forall z\in\mathbb{C}\quad f(z+1)=f(z),\;f(z+i)=f(z).$

Diremos que $f$ es doblemente periódica de periodos $1$ e $i.$ Consideremos un paralelogramo de vértices $z_0+i,\;z_0,\;z_0+1,\;z_0+1+i$ cuyo borde llamamos $\Gamma$ siendo $z_0\in\mathbb{C}$ un punto cualquiera pero tal que $f$ no tiene ningún polo en $\Gamma.$

1. Calcular $\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\;dz.$
2. Estudiar si $g(z)=f’(z)/f(z)$ es doblemente periódica, y en caso afirmativo determinar sus periodos. Suponiendo que $f$ no tiene ceros sobre $\Gamma$, calcular $\int_{\Gamma}(f’(z)/f(z))\;dz.$
3. Si $f$ tiene $m$ polos en $\mathbb{C}$, hallar el número de raíces de la ecuación $f(z).$

(Propuesto en examen, Amp. de Cálculo, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Consideremos los lados orientados del paralelogramo:

$$\Gamma_1:(\mbox { de origen }z_0+i\mbox{ y extremo }z_0)\;z=z_0+i-ti,\;\;t\in [0,1],$$ $$\Gamma_2:(\mbox { de origen }z_0\mbox{ y extremo }z_0+1)\;z=z_0+t,\;\;t\in [0,1],$$ $$\Gamma_3:(\mbox { de origen }z_0+1\mbox{ y extremo }z_0+1+i) \;z=z_0+1+ti,\;\;t\in [0,1],$$ $$\Gamma_4:(\mbox { de origen }z_0+1+i\mbox{ y extremo }z_0+i)\;z=z_0+1+i-t,\;\;t\in [0,1].$$

Entonces,

$\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\;dz=\displaystyle\int_{\Gamma_1}f(z)\;dz+\displaystyle\int_{\Gamma_2}f(z)\;dz+\displaystyle\int_{\Gamma_3}f(z)\;dz+\displaystyle\int_{\Gamma_4}f(z)\;dz.$

Teniendo en cuenta que $f$ es periódica de periodo $i:$

$$\displaystyle\int_{\Gamma_2}f(z)\;dz+\displaystyle\int_{\Gamma_4}f(z)\;dz=\displaystyle\int_0^1f(z_0+t)\;dt+\displaystyle\int_0^1f(z_0+1+i-t)(-dt)$$ $$=
\displaystyle\int_0^1f(z_0+t)\;dt-\displaystyle\int_0^1f(z_0+1-t)\;dt.$$

Efectuando el cambio $u=1-t:$

$\displaystyle\int_0^1f(z_0+1-t)\;dt=\displaystyle\int_1^0f(z_0+u)\;(-du)=\displaystyle\int_0^1f(z_0+u)\;du.$

En consecuencia, $\int_{\Gamma_2}f(z)\;dz+\int_{\Gamma_4}f(z)\;dz=0.$ Teniendo en cuenta que $f$ es periódica de periodo $1$ deducimos de forma análoga que $\int_{\Gamma_1}f(z)\;dz+\int_{\Gamma_3}f(z)\;dz=0.$ Es decir, $\int_{\Gamma}f(z)\;dz=0.$

2. Tenemos

$$\left \{ \begin{matrix} f(z+1)=f(z)\\ f(z+i)=f(z) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} f’(z+1)=f’(z)\\ f’(z+i)=f’(z) \end{matrix}\right. $$ $$\Rightarrow
\left \{ \begin{matrix} g(z+1)=\dfrac{f’(z+1)}{f(z+1)}=\dfrac{f’(z)}{f(z)}=g(z)\\ g(z+i)=\dfrac{f’(z+i)}{f(z+i)}=\dfrac{f’(z)}{f(z)}=g(z), \end{matrix}\right.$$

lo cual implica que $g$ es doblemente periódica de periodos $1$ e $i.$ Además, si $f$ no tiene ceros sobre $\Gamma$ entonces $g$ no tiene polos sobre $\Gamma.$ Usando el apartado anterior concluimos que $\int_{\Gamma}(f’(z)/f(z))\;dz=0.$

3. De acuerdo con el teorema del residuo logarítmico y el apartado anterior:

$0=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f’(z)}{f(z)}\;dz=N-P,$

siendo $N$ el número de ceros de $f(z)$ en el interior de $\Gamma$ y $P$ el número de polos de $f(z)$ en el interior de $\Gamma$ (contando en ambos casos los órdenes). Dado que podemos mover a placer $z_0$ en el plano complejo, concluimos que el número de ceros de $f(z)$ es $m.$

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