Soluciones acotadas de un sistema diferencial

Enunciado
Dado el sistema diferencial $X’(t)=AX(t)$ con

$A=\begin{pmatrix}{\;\;6}&{-1}&{\;\;4}\\{\;\;8}&{-2}&{\;\;4}\\{-4}&{\;\;1}&{-2}\end{pmatrix},$

calcula el conjunto de condiciones iniciales $(x_0,y_0,z_0)^t$ que dan lugar a soluciones acotadas.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Hallemos la forma canónica de la matriz $A$. Su polinomio característico es

$\chi(\lambda)=\begin{vmatrix}{6-\lambda}&{-1}&{4}\\{\;\;8}&{-2-\lambda}&{4}\\{-4}&{\;\;1}&{-2-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{6-\lambda}&{-1}&{4}\\{\;\;8}&{-2-\lambda}&{4}\\{2-\lambda}&{\;\;0}&{2-\lambda}\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{-1}&{4}\\{4}&{-2-\lambda}&{4}\\{0}&{\;\;0}&{2-\lambda}\end{vmatrix}=(2-\lambda)\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{-1}\\{4}&{-2-\lambda}\end{vmatrix}=(2-\lambda)\lambda^2.$

Los valores propios son por tanto $\lambda=0$ (doble) y $\lambda=2$ (simple). Las dimensiones de los subespacios propios son $\dim V_0=3-\textrm{rg}(A-0I)=3-2=1$ y $\dim V_2=1$ por ser $\lambda=2$ simple. En consecuencia la forma de Jordan de $A$ es

$J=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}\:.$

Sea $P\in\mathbb{R}^3$ invertible tal que $P^{-1}AP=J$ y efectuemos el cambio $X(t)=PY(t)$. Entonces

$X’(t)=AX(t)\Leftrightarrow (PY(t))’=A(PY(t))\Leftrightarrow PY’(t)=APY(t)\\
\Leftrightarrow Y’(t)=P^{-1}APY(t) \Leftrightarrow Y’(t)=JY(t).$

Es decir, $X(t)$ es solución del sistema dado si y sólo si $Y(t)$ lo es de $Y’(t)=JY(t)$. Por otra parte, si $X(0)=(x_0,y_0,z_0)$ e $Y(0)=(u_0,v_0,w_0)^t$ entonces

$\begin{bmatrix}{x_0}\\{y_0}\\{z_0}\end{bmatrix}=P\;\begin{bmatrix}{u_0}\\{v_0}\\{w_0}\end{bmatrix}\;.$

Las soluciones del sistema $Y’(t)=JY(t)$ son

$Y(t)=e^{tJ}\begin{bmatrix}{u_0}\\{v_0}\\{w_0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{t}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{e^{2t}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{u_0}\\{v_0}\\{w_0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{u_0+tv_0}\\{v_0}\\{w_0e^{2t}}\end{bmatrix}\;.$

Es claro que la solución $Y(t)$ está acotada si y sólo si $v_0=w_0=0$. Por otra parte, si $Y(t)$ está acotada entonces (eligiendo por ejemplo la norma del máximo) existe $M\geq 0$ tal que $||Y(t)||\leq M$ para todo $t\in\mathbb{R}$. La correspondiente solución $X(t)$ cumple $||X(t)||=||PY(t) ||\leq ||P||\;||Y(t)||\leq ||P||M$, es decir $X(t)$ está acotada.

Recíprocamente, dado que $Y(t)=P^{-1}X(t)$ se demuestra de manera análoga que si $X(t)$ está acotada también lo está $Y(t)$. De todo esto concluimos que las condiciones iniciales $(x_0,y_0,z_0)^t$ que dan lugar a soluciones acotadas son de la forma

$\begin{bmatrix}x_0\\{y_0}\\{z_0}\end{bmatrix}=P\;\begin{bmatrix}u_0\\{0}\\{0}\end{bmatrix}\;.$

Esto equivale a decir que $(x_0,y_0,z_0)^t$ es proporcional a la primera columna de $P$, y esta es un vector propio asociado al valor propio $\lambda=0$, es decir un vector no nulo de $\ker A$.

$\ker A\equiv \left \{ \begin{matrix}6x_1-x_2+4x_3=0\\ 8x_1-2x_2+4x_3=0 \\ -4x_1+x_2-2x_3=0. \end{matrix}\right.$

Resolviendo obtenemos como base de $\ker A$ el vector $(1,2,-1)$. Es decir, $(x_0,y_0,z_0)^t$ da lugar a soluciones acotadas si y sólo si $(x_0,y_0,z_0)^t\in\mathcal{L}\{(1,2,-1)^t\}$.

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