Teorema de Bendixson-Dulac, órbitas cerradas

Usamos el teorema de Bendixson-Dulac para el estudio de las órbitas cerradas asociadas a un sistema autónomo.

Enunciado
(a)  Aplicar el teorema de Bendixson a los sistemas

$(i)\;\left \{ \begin{matrix}x’_1=e^{x_1}\\x’_2=1-x_1.\end{matrix}\right.\quad (ii)\;\left \{ \begin{matrix}x’_1=x_2\\x’_2=1-x_1^2.\end{matrix}\right. \quad(iii)\;\left \{ \begin{matrix}x’=-y-x+x(x^2+y^2)\\y’=x-y+y(x^2+y^2).\end{matrix}\right.$

(b)  Usar el teorema de Bendixson para estudiar la existencia de órbitas cerradas en el plano de fases $M=\mathbb{R}^2$ para el sistema

$S\equiv \left \{ \begin{matrix}x’=1-x^2-y^2\\y’=2xy.\end{matrix}\right.$

(c)  Aplicar la función de Dulac $F(x,y)=x$ al sistema $S$ para las misma cuestión.

Solución
(a)  Recordamos el enunciado del Teorema de Bendixson. Sea $M\subset \mathbb{R}^2$ abierto y $v:M\to\mathbb{R}^2$ un campo vectorial de clase 1 tal que $\textrm{div}(v)$ mantiene signo constante y distinto de cero en una región $R\subset M$ simplemente conexa. Entonces, el sistema $x’=v(x)$ no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en $R$.

(i) $\textrm{div}(v)=(v_1)_{x_1}+(v_2)_{x_2}=e^{x_1}>0$ para todo $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$. Dado que $\mathbb{R}^2$ es simplemente conexo, concluimos que el sistema no tiene órbitas cerradas.

(ii) $\textrm{div}(v)=0$ para todo $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$, por tanto el teorema de Bendixson no proporciona información.

(iii) La divergencia de $v$ es

$\textrm{div}(v)=(v_1)_{x}+(v_2)_{y}=-1+3x^2+y^2-1+x^2+3y^2=4x^2+4y^2-2.$

Se anula en la circunferencia $x^2+y^2=1/2$, es decir en la circunferencia de centro el origen y radio $\sqrt{2}/2$. Mantiene el signo constante (negativo) en el círculo $R\equiv x^2+y^2<\sqrt{2}/2$ (simplemente conexo). También mantiene el signo constante (positivo) en la región $x^2+y^2>\sqrt{2}/2$ (no simplemente conexa). Podemos concluir que el sistema no tiene órbitas cerradas totalmente contenidas en $R$.

(b)  $\textrm{div}(v)=-2x+2x=0$ para todo $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$. El teorema de Bendixson no proporciona información.

(c)  Recordamos el enunciado del Teorema de Bendixson-Dulac. Sea $M\subset \mathbb{R}^2$ abierto y $v:M\to\mathbb{R}^2$ un campo vectorial de clase 1. Sea $F:M\to \mathbb{R}$ diferenciable. Entonces, si $\textrm{div}(Fv)$ mantiene signo constante y distinto de cero en una región $R\subset M$ simplemente conexa, el sistema $x’=v(x)$ no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en $R$.

La función $F$ es diferenciable en $\mathbb{R}^2$ y $Fv=(x-x^3-xy^2,2x^2y)$. Tenemos

$\textrm{div}(Fv)=1-3x^2-y^2+2x^2=1-x^2-y^2.$

Se anula en la circunferencia $x^2+y^2=1$, es decir en la circunferencia de centro el origen y radio $1$. Mantiene el signo constante (positivo) en el círculo $R\equiv x^2+y^2<1$ (simplemente conexo). También mantiene el signo constante (negativo) en la región $x^2+y^2>1$ (no simplemente conexa). Podemos concluir que el sistema no tiene órbitas cerradas totalmente contenidas en $R$.

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