Límite de promedios en un polígono regular

Enunciado
(a) Siendo $n$ un entero positivo, determinar la expresión de la suma

$\sin x+\sin 2x+\ldots+\sin nx .$

(b) Se considera un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $1.$ Determinar el promedio de las distancias de un vértice fijo del polígono a los vértices restantes. Calcular el valor límite de esos promedios cuando el número de lados crece indefinidamente.

(c) Determinar el valor de la integral

$I=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}|1-e^{it}|\;dt .$

Justificar la relación del resultado obtenido con el resultado del apartado anterior.

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Vamos a denotar $S_2=\sin x+\sin 2x+\ldots+\sin nx$. De manera análoga denotamos $S_1=\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx$. Obtenemos para $e^{ix}-1\neq 0:$

$S_1+S_2i=e^{ix}+e^{i2x}+\ldots+e^{inx}=\dfrac{e^{ix}(e^{inx}-1)}{e^{ix}-1}=\\ {}\\{}\\e^{ix}\cdot \dfrac{e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}}\cdot \dfrac{e^{\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}=e^{ix}\cdot \dfrac{2i\sin\frac{nx}{2}}{2i\sin \frac{x}{2}}\cdot
e^{\frac{i(n-1)x}{2}}=\\{}\\{}\\
\dfrac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2} }\cdot e^{i\frac{(n+1)x}{2}}=\dfrac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\cdot \left(\cos \frac{n+1}{2}x+i\sin \frac{n+1}{2}x\right) .$

Igualando partes imaginarias, obtenemos la suma pedida

$$\sin x+\sin 2x+\ldots+\sin nx=\dfrac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Nota La relación $e^{ix}-1=0$ es equivalente a $x=2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$. En este caso, la suma pedida es claramente igual a $0$.

(b) Sabemos que las raíces enésimas de un número complejo corresponden a los vértices de un polígono regular de $n$ lados. Podemos suponer entonces que los vértices son los afijos de las raíces enésimas de la unidad. Es decir, los vérices del polígono son $w_k=e^{\frac{2k\pi}{n}i}$ con $k=0,1,\ldots,n-1$. Tomando como referencia el vértice $w_0=1$, la media aritmética de las distancias del vértice $w_0$ a los restantes vértices $w_1,w_2,\ldots,w_{n-1}$ vendrá dado por

$p_n=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left|1-w_k\right|}{n-1}.$

Hallemos previamente $\left|1-e^{i\alpha}\right|$ siendo $\alpha\in\mathbb{R}:$

$\left|1-e^{i\alpha}\right|^2=|1-\cos \alpha+i\sin\alpha|^2=1+\cos^2\alpha -2\cos \alpha+\sin^2\alpha=2(1-\cos \alpha).$

Por otra parte

$\sin (\alpha/2)=\sqrt{(1-\cos \alpha)/2}\Rightarrow \sin^2 (\alpha/2)=(1-\cos \alpha)/2 \\\Rightarrow \left|1-e^{i\alpha}\right|=\sqrt{4\sin^2(\alpha/2)}=2\left|\sin (\alpha/2)\right|.$

Como consecuencia, $\left|1-w_k\right|=\left|1-e^{\frac{2k\pi}{n}i}\right|=2\left|\sin \frac{k\pi}{n}\right|$. Simplifiquemos $p_n$

$\displaystyle\begin{aligned}p_n &=\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2\left|\sin \frac{k\pi}{n}\right|\\
&=\dfrac{2}{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}\;(\text{ pues }0\leq \frac{k\pi}{n}\leq \pi)\\
&=\dfrac{2}{n-1}\cdot \dfrac{\sin \left(\frac{n-1}{2} \frac{\pi}{n}\right)\cdot \sin \left(\frac{n}{2} \frac{\pi}{n}\right) }{\sin \frac{\pi}{2n}}\;\;(\text{apartado}\;(a))\\
&=\dfrac{2}{n-1}\cdot \dfrac{ \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2n}\right) }{\sin \frac{\pi}{2n}}\\&=\dfrac{2}{n-1}\cdot \dfrac{ \cos \frac{\pi}{2n} }{\sin \frac{\pi}{2n}}\\
&= \dfrac{2}{n-1}\cdot \cot \frac{\pi}{2n}.\end{aligned}$

Para hallar este límite consideremos la función auxiliar $f(x)=\dfrac{2}{x-1}\cot \dfrac{\pi}{2x}$

$$\displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}f(x)&=2\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{\cot \frac{\pi}{2x}}{x-1}\\&=\left\{\dfrac{+\infty}{+\infty}\right\}\\&=2\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{-\dfrac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{2x}}\cdot \dfrac{\pi}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}{1}\;\;(\text{L’Hopital })\\&=2\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2\cdot \dfrac{\pi}{2}}{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2x}\right)}\\&=2\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{2x}\right)^2\cdot \dfrac{2}{\pi}}{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2x}\right)}\;\;\;(u=\pi x/2)\\
&=\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\lim_{u \to 0}\left(\dfrac{u}{\sin u}\right)^2\\
&=\dfrac{4}{\pi}\\&\Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}p_n=\dfrac{4}{\pi}.\end{aligned}$$

(c$$\displaystyle\begin{aligned}
I&=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\left|1-e^{it}\right|\;dt\\
&=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}2\left|\sin (t/2)\right|\;dt\;\;(\text{ por el apartado (b)})\\
&=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin (t/2)\;dt\;\;(\text{ pues }0\leq t/2\leq \pi\;)\\
&=\dfrac{1}{\pi}\left[-2\cos (t/2)\right]_0^{2\pi}\\
&=\dfrac{1}{\pi}(-2)(-1-1)\\
&=\dfrac{4}{\pi}.
\end{aligned}$$ Analicemos la coincidencia de estos dos resultados. Para ello particionamos el intervalo $[0,2\pi]$ en $n$ subintervalos. La longitud de cada uno de estos es $2\pi/n$. La partición correspondiente es por tanto $$0<1\cdot \dfrac{2\pi}{n}<2\cdot \dfrac{2\pi}{n}<\ldots<(n-1)\cdot \dfrac{2\pi}{n}<n\cdot \dfrac{2\pi}{n}.$$ Como consecuencia de un conocido teorema para la integral de Riemann de una función continua: $$\displaystyle\begin{aligned}
I&=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\left|1-e^{it}\right|\;dt\\
&=\dfrac{1}{2\pi}\cdot \dfrac{2\pi}{n}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|1-e^{\frac{2k\pi}{n}i}\right|\\
&=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}p_n .
\end{aligned}$$

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