Anillos: notaciones y propiedades

Demostramos algunas propiedades de los anillos y usamos las notaciones habituales $+$ y $\cdot$ para sus operaciones.

TEORÍA

1  Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y $a,b$ elementos de $A$. Desarrollar $(a+b)^2$. Simplificar las expresión resultante cuando $A$ sea conmutativo.

SOLUCIÓN

2  Sea $A$ un anillo. Demostrar que cualesquiera que sean $a,b,c\in A$ y llamando $[a,b]=ab-ba,$ se verifica:$$\left[a,[b,c]\right]+\left[b,[c,a]\right]+\left[c,[a,b]\right]=0.$$

SOLUCIÓN

3  Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo. Demostrar que:
$1)$ $a0=0a=0,\quad\forall a\in A$.
$2)$ $(-a)b=a(-b)=-(ab),\quad \forall a,b\in A $.
$3)$ $(-a)(-b)=ab,\quad\forall a,b\in A .$

SOLUCIÓN
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