Teorema de la función implícita (en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$)

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$

TEORÍA

1 Se considera la función $F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $F(x,y)=x^2+y^2-5$ y el punto $(a,b)=(1,2).$

(a) Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de la función implícita en $(a,b).$
(b) Deducir que la ecuación $F(x,y)=0$ determina un única función implícita $y=f(x)$.
(c) Calcular $f’(1).$

SOLUCIÓN

2 Comprobar que la ecuación $x^2y+3y^3-2y^2-2=0$ determina una función implícita $y=f(x)$ en un entorno del punto $(1,1).$ Hallar $f’(1).$

SOLUCIÓN

3 (a) Probar que la expresión $$x^6y+y^2\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{1}{1+\sin^6t}+y^5-1=0$$ define a $y$ como una función implícita diferenciable $y=f(x)$ en un entorno del punto $(0,1).$

(b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(0,1).$

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