Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Se considera la función $F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $F(x,y)=x^2+y^2-5$ y el punto $(a,b)=(1,2).$
    (a) Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de la función implícita en $(a,b).$
    (b) Deducir que la ecuación $F(x,y)=0$ determina un única función implícita $y=f(x)$.
    (c) Calcular $f’(1).$
  2. Comprobar que la ecuación $x^2y+3y^3-2y^2-2=0$ determina una función implícita $y=f(x)$ en un entorno del punto $(1,1).$ Hallar $f’(1).$
  3. (a) Probar que la expresión $$x^6y+y^2\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{1}{1+\sin^6t}+y^5-1=0$$ define a $y$ como una función implícita diferenciable $y=f(x)$ en un entorno del punto $(0,1).$
    (b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(0,1).$
    Solución
  1. (a) (i) $F(1,2)=1^2+2^2-5=0.$

    (ii) Las derivadas parciales son $$\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=2x,\;\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=2y,$$ que claramente son continuas en todo el abierto $A=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, lo cual implica $F\in\mathcal{C}^1(A).$

    (iii) $\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}(1,2)=4\neq 0.$
    Se verifican las hipótesis del teorema.

    (b) De acuerdo con el teorema de la función implícita, la ecuación $x^2+y^2-5=0$ determina una única función implícita $y=f(x)$ en un entorno de $(1,2).$

    (c) En general, si $y=f(x)$ es la función determinada por $F(x,y)=0$ en un entorno de un determinado punto, derivando respecto de $x$ obtenemos $$\frac{{\partial F}}{{\partial x}}\cdot 1+\frac{{\partial F}}{{\partial y}}y’=0, \text{ o bien } y’=-\dfrac{\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}}{\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}}.$$ En nuestro caso

    $f’(1)=-\displaystyle\frac{\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}(1,2)}{\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}(1,2)}=-\displaystyle\frac{2}{4}=-\displaystyle\frac{1}{2}.$

    Por supuesto que no siempre va a se posible despejar $y$ en función de $x,$ es decir, dar la función en forma explícita. En nuestro caso, sí podemos: $$y=f(x)=\sqrt{5-x^2}, \text{ y } f’(x)=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}.$$ Por tanto $f’(1)=-1/2.$

  2. Denominemos $F(x,y)=x^2y+3y^3-2y^2-2.$ Se verifica $F(1,1)=0.$ Las parciales $\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=2xy$ y $\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}=x^2+9y^2-4y$ son claramente continuas en el abierto $A=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ y $\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}(1,1)=6\neq 0.$
    Es decir, en un entorno de $(1,1)$ la ecuación dada determina una función $y=f(x).$ Además se verifica

    $f’(1)=-\dfrac{\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}(1,1)}{\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}(1,1)}=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}.$

  3. Ver Función implícita con teorema fundamental del Cálculo.
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