Anillo de los enteros de Gauss

Estudiamos el anillo de los enteros de Gauss.

Enunciado
Sea $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}\}$ con las operaciones usuales de suma y producto de complejos. Se pide:
$A)$  Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario (se llama anillo de los enteros de Gauss).
$B)$  Hallar todos los elementos invertibles de $\mathbb{Z}[i]$.

Solución
$A)$  $(a)$ Veamos que $(\mathbb{Z}[i],+)$ es grupo abeliano. Como $\mathbb{Z}[i]\subset \mathbb{C}$ y $(\mathbb{C},+)$ es grupo abeliano, bastará demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es subgrupo de $\mathbb{C}.$

$(i)$ Claramente $0+0i\in \mathbb{Z}[i],$ por tanto $\mathbb{Z}[i]\neq \emptyset.$
$(ii)$ Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,$$ y dado que $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $a-c$ y $b-d$ lo cual implica que la diferencia anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i].$ Concluimos que  $(\mathbb{Z}[i],+)$ es grupo abeliano.

$(b)$ Veamos que $(\mathbb{Z}[i],\cdot)$ es semigrupo.

$(i)$ Interna. Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,$$ y como $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $ac-bd$ y $ad+bc$ lo cual implica que el producto anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i]$.
$(ii)$ Asociativa. La operación producto es asociativa en $\mathbb{C},$ por tanto lo es en $\mathbb{Z}[i].$ Hemos demostrado que  $(\mathbb{Z}[i],\cdot)$ es semigrupo. Es además conmutativo pues el producto es conmutativo en $\mathbb{C}.$

$(c)$ La operación $\cdot$ es distributiva respecto la operación $+.$ Efectivamente, lo es en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathbb{Z}[i].$ Hemos demostrado que $(\mathbb{Z}[i],+,\cdot)$ es anillo conmutativo. Es también unitario pues $1=1+0i\in\mathbb{Z}[i].$

$B)$  Un elemento $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$ no nulo es invertible si y sólo si existe un $a’+b’i\in \mathbb{Z}[i]$ no nulo tal que $(a+bi)(a’+b’i)=1$. Tomando módulos al cuadrado, obtenemos $(a^2+b^2)(a’^2+b’^2)=1$.

Como los dos factores anteriores son enteros positivos, ha de ser necesariamente $a^2+b^2=1$ o equivalentemente $a=\pm 1\;\wedge\; b=0$ o $a=0\;\wedge\;b=\pm 1$. Es decir, los únicos posibles elementos invertibles de $\mathbb{Z}[i]$ son $1,-1,i,-i$.  Pero estos elementos son  invertibles al cumplirse:  $$1\cdot 1=1,\;(-1)\cdot (-1)=1,\;i\cdot (-i)=1,\;(-i)\cdot i=1.$$  El conjunto de las unidades de $\mathbb{Z}[i]$ es por tanto $$U=\{1,-1,i,-i\}.$$

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