Grupo multiplicativo de las unidades

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo multiplicativo de las unidades.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Determinar las unidades (o elementos invertibles) del anillo $\mathbb{Z}.$
  2. Determinar las unidades del anillo $\mathbb{R}^{n\times n}.$ de las matrices reales cuadradas de orden $n.$
  3. Demostrar que si $u$ es unidad de un anillo unitario $A,$ entonces el elemento $v$ que cumple $uv=vu=1$ es único.
  4. Determinar las unidades del anillo $(\mathbb{R}[x],+,\cdot).$
  5. Determinar las unidades del anillo $\mathcal{S}$ de las sucesiones de números reales.
  6. Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo unitario. Demostrar que:
    $1)$ El elemento unidad $1$ es una unidad.
    $2)$ Si $u$ y $v$ son unidades, entonces $uv$ es una unidad, y se verfica $(uv)^{-1}=v^{-1}u^{-1}.$
    $3)$ Si $u$ es una unidad, entonces, $u^{-1}$ es una unidad, y se verifica $(u^{-1})^{-1}=u.$
    $4)$ Si $U$ es el conjunto formado por todas las unidades de $A,$ entonces $(U,\cdot)$ es un grupo.
    Solución
  1. Claramente, las unidades de $\mathbb{Z}$ son $1$ y $-1.$
  2. De acuerdo con la definición de unidad, los elementos invertibles de $\mathbb{R}^{n\times n}$ son justamente las matrices invertibles.
  3. En efecto, si existiera otro $v’$ cumpliendo $uv’=v’u=1,$ entonces: $$uv=1\Rightarrow v’(uv)=v’1\Rightarrow(v’u)v=v’\Rightarrow1v=v’\Rightarrow v=v’.$$ Al elemento $v$ se le designa por $u^{-1}.$
  4. Si $u(x)=k\neq 0$ es polinomio constante no nulo, entonces es unidad pues el polinomio $v(x)=1/k$ satisface $u(x)v(x)=v(x)u(x)=1.$ Veamos que los polinomios constantes no nulos (es decir, los polinomios de grado $0$), son las únicas unidades de $\mathbb{R}[x].$
    En efecto, sea $u(x)\in \mathbb{R}[x]$ un polinomio distinto de una constante no nula. Si $u(x)=0,$ entonces $u(x)v(x)=0$ para todo $v(x)\in \mathbb{R}[x],$ y por tanto $u(x)$ no es unidad. Si $u(x)$ es polinomio de grado $\geq 1$ entonces, para cualquier polimomio $v(x)\in \mathbb{R}[x],$ o bien $u(x)v(x)=0$ si $v(x)=0,$ o bien el grado de $u(x)v(x)$ es $\geq 1$ si $v(x)\neq 0.$ Es decir, $u(x)$ no es unidad. Concluimos que el conjunto $U$ de las unidades de $\mathbb{R}[x]$ es:$$U=\{u(x)\in \mathbb{R}[x]:\operatorname{grado}u(x)=0\}.$$
  5. Sea $(x_n)\in\mathcal{S}.$ Dado que $\mathcal{S}$ es conmutativo, $(x_n)$ es una unidad si y sólo si, existe $(y_n)\in\mathcal{S}$ tal que $(x_n)(y_n)=(1).$ Esto equivale a decir que $x_ny_n=1$ para todo $n=1,2,\ldots,$ que a su vez equivale a decir que $x_n\neq 0$ para todo $n=1,2,\ldots.$ Por tanto, el conjunto $U$ de las unidades de $\mathcal{S}$ es: $$U=\{(x_n)\in\mathcal{S}:x_n\neq 0\;\forall n=1,2,\ldots\}.$$
  6. $1)$ Se verifica $1\cdot1=1\cdot 1=1,$ lo cual implica que $1$ es una unidad.
    $2)$ Si $u$ y $v$ son unidades, existen los elementos $u^{-1}$ y $v^{-1}$ de $A$ tales que
    $uu^{-1}=u^{-1}u=1,$ $vv^{-1}=v^{-1}v=1,$ por tanto, $$\begin{aligned}& (uv)(v^{-1}u^{-1})=u(vv^{-1})u^{-1}=u1u^{-1}=uu^{-1}=1,\\
    &(v^{-1}u^{-1})(uv)=v^{-1}(u^{-1}u)v=v^{-1}1v=v^{-1}v=1,
    \end{aligned}$$ es decir $uv$ es unidad y $(uv)^{-1}=v^{-1}u^{-1}.$
    $3)$ Si $u$ es unidad, existe el elemento $u^{-1}$ de $A$ tal que $uu^{-1}=u^{-1}u=1.$ Es decir, el elemento $u^{-1}$ satisface la definición de unidad, y además su $(u^{-1})^{-1}$ es precisamente $u,$ es decir $(u^{-1})^{-1}=u.$
    $4)$ Efectivamente, $(U,\cdot)$ es grupo.
    Interna. Según $2),$ el producto de dos elementos de $U,$ pertenece a $U.$
    Asociativa. La operación $\cdot$ es acociativa en $A,$ por tanto lo es en $U.$
    Elemento neutro. Según $1),$ el elemento unidad $1$ es una unidad, por tanto es elemento neutro de $(U,\cdot)$ al verificar $u1=1u$ para todo $u\in U.$
    Elemento simétrico. Si $u\in U,$ y según $3)$ existe $u^{-1}\in U$ tal que $uu^{-1}=u^{-1}u=1.$
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