Grupo multiplicativo de las unidades

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo multiplicativo de las unidades.

TEORÍA

1  Determinar las unidades (o elementos invertibles) del anillo  $\mathbb{Z}.$

SOLUCIÓN

2  Determinar las unidades del anillo  $\mathbb{R}^{n\times n}.$ de las matrices reales cuadradas de orden $n.$

SOLUCIÓN

3  Demostrar que si  $u$ es unidad de un anillo unitario $A,$ entonces el elemento $v$ que cumple $uv=vu=1$ es único.

SOLUCIÓN

4  Determinar las unidades del anillo $(\mathbb{R}[x],+,\cdot).$

SOLUCIÓN

5  Determinar las unidades del anillo $\mathcal{S}$ de las sucesiones de números reales.

SOLUCIÓN

6  Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo unitario. Demostrar que:
$1)$ El elemento unidad $1$ es una unidad.
$2)$ Si $u$ y $v$ son unidades, entonces $uv$ es una unidad, y se verfica $(uv)^{-1}=v^{-1}u^{-1}.$
$3)$ Si $u$ es una unidad, entonces, $u^{-1}$ es una unidad, y se verifica $(u^{-1})^{-1}=u.$
$4)$ Si $U$ es el conjunto formado por todas las unidades de $A,$ entonces $(U,\cdot)$ es un grupo.

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.