Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m.$

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. (a) Probar que el sistema $$\left \{ \begin{matrix} xz^3+y^2u^3=1\\2xy^3+u^2z=0,\end{matrix}\right.$$ define a $z,u$ como funciones implícitas diferenciables de las variables $x,y$ en un entorno del punto $P(0,1,0,1).$
    (b) Hallar las derivadas parciales en el punto $a=(0,1)$ de las funciones implícitas $z=z(x,y)$ y $u=u(x,y)$ que determinan el sistema anterior.
  2. Demostrar que la ecuación $x^2y+y^2x+z^2\cos (xz)=1$ define a $z$ como función implícita $z=z(x,y)$ en un entorno del punto $P(0,\sqrt{2},1).$ Hallar las derivadas parciales $$\dfrac{{\partial z}}{{\partial x}}(0,\sqrt{2}),\quad \dfrac{{\partial z}}{{\partial y}}(0,\sqrt{2}).$$
  3. Demostrar que el sistema $$\left \{ \begin{matrix} 7x^2+y^2-3z^2=-1\\4x^2+2y^2-3z^2=0\end{matrix}\right.$$ define funciones diferenciables $y=y(x),z=z(x)$ de la variable independiente $x$ en un entorno del punto $P(1,-2,2).$ Hallar $y’(1)\;,\;z’(1)\;,\;y”(1)\;,\;z”(1).$
    Solución
  1. (a) Consideremos la función $F=(F_1,F_2):\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ definida por $$F(x,y,z,u)=(xz^3+y^2u^3-1, 2xy^3+u^2z).$$ Veamos que se cumplen las hipótesis del teorema de la función implícita en el punto dado. En efecto, como $F(0,1,0,1)=(0+1-1,0+0)=(0,0)$, se cumple (i). La parciales de las funciones componentes de $F$ son $$\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial x}}=z^3\;,\;\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial y}}=2yu^3\;,\;\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial z}}=3xz^2\;,\;\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial u}}=3y^2u\\
    \dfrac{{\partial F_2}}{{\partial x}}=2y^3\;,\;\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial y}}=6xy^2\;,\;\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial z}}=u^2\;,\;\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial u}}=2uz.$$ Estas parciales son continuas en todo $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$ y en particular en cualquier abierto $A$ que contenga al punto dado, es decir $F\in\mathcal{C}^1(A)$ y por tanto se verifica (ii). Veamos que se cumple (iii): $$\det \;\begin{bmatrix}{\frac{{\partial F_1}}{{\partial z}}}&{\frac{{\partial F_1}}{{\partial u}}}\\ \\{\frac{{\partial F_2}}{{\partial z}}}&{\frac{{\partial F_2}}{{\partial u}}}\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}{3xz^2}&{3y^2u}\\{u^2}&{2uz}\end{vmatrix}=6xz^3u-3y^2u^3.$$ Sustituyendo en $(x,y,z,u)$ la coordenadas del punto dado $(0,1,0,1)$ obtenemos que el determinante es $-3\neq 0.$ Por tanto, también se cumple (iii). Como consecuencia el sistema dado define una función $(z,u)=(z(x,y),u(x,y))$ de clase 1 (y por tanto diferenciable) un entorno de $P=(a,b)$ con $a=(0,1)$ y $b=(0,1).$

    (b) Derivando las igualdades dadas primero respecto de $x$ y luego respecto de $y$ obtenemos $$S_1:\;\;\left \{ \begin{matrix} z^3+3xz^2\frac{{\partial z}}{{\partial x}}+3y^2u^2\frac{{\partial u}}{{\partial x}}=0\\2y^3+2uz\frac{{\partial u}}{{\partial x}}+u^2\frac{{\partial z}}{{\partial x}}=0,\end{matrix}\right.\\{}\\
    S_2:\;\;\left \{ \begin{matrix} 3xz^2\frac{{\partial z}}{{\partial y}}+2yu^3+3y^2u^2\frac{{\partial u}}{{\partial y}}=0\\6xy^2+2uz\frac{{\partial u}}{{\partial y}}+u^2\frac{{\partial z}}{{\partial y}}=0.\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo $(x,y)$ por $a=(0,1)$ y $(z,u)$ por $b=(0,1)$ en los sistemas $S_1$ y $S_2$ obtenemos $$S’_1:\;\;\left \{ \begin{matrix} 3\frac{{\partial u}}{{\partial x}}(0,1)=0\\2+\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(0,1)=0,\end{matrix}\right.\qquad S’_2:\;\;\left \{ \begin{matrix} 2+3\frac{{\partial u}}{{\partial y}}(0,1)=0\\\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(0,1)=0.\end{matrix}\right.$$ Por tanto, las derivadas parciales pedidas son $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(0,1)=-2\;,\;\frac{{\partial u}}{{\partial x}}(0,1)=0\;,\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}}(0,1)=-2/3\;,\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(0,1)=0.$$

  2. Consideremos la función $F:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $$\;F(x,y,z)=x^2y+y^2x+z^2\cos (xz)-1.$$ Se verifica $F(0,\sqrt{2},1)=0.$ La parciales de $F$ son $$\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=2xy+y^2-z^3\sin (xz),\\\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=x^2+2xy,\\\frac{{\partial F}}{{\partial z}}=2z\cos (xz)-xz^2\sin (xz).$$ Estas parciales son continuas en $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}$, en particular en cualquier subconjunto abierto $A$ que contiene al punto $P(0,\sqrt{2},1).$ Es decir, $F\in\mathcal{C}^1(A).$
    Por otra parte, tenemos $\det \left[\frac{{\partial F}}{{\partial z}}(0,\sqrt{2},1)\right]=2\neq 0.$ Concluimos que la ecuación dada define una única función implícita $z=z(x,y)$ de clase 1 (y por tanto diferenciable) un entorno de $P=(a,b)$ con $a=(0,\sqrt{2})$ y $b=1.$ Derivando la ecuación dada respecto de $x$ y respecto de $y$ obtenemos $$2xy+y^2+2z\cdot \frac{{\partial z}}{{\partial x}}\cdot \cos (xz)+z^2(-\sin (xz))(z+x\frac{{\partial z}}{{\partial x}})=0,\\x^2+2xy+2z\cdot \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\cdot \cos (xz)+z^2(-\sin (xz))x\frac{{\partial z}}{{\partial y}}=0.$$ Sustituyendo $(x,y,z)=(0,\sqrt{2},1)$ obtenemos $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(0,\sqrt{2})=-1\;,\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(0,\sqrt{2})=0.$$
  3. Consideremos la función $F=(F_1,F_2):\mathbb{R}\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ definida por $$F(x,y,z)=(7x^2+y^2-3z^2+1,4x^2+2y^2-3z^2).$$ Se verifica $F(1,-2,2)=(0,0).$ Las parciales de $F_1$ y $F_2$ son $$\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial x}}=14x\;,\;\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial y}}=2y\;,\;\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial z}}=-6z\\\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial x}}=8x\;,\;\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial y}}=4y\;,\;\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial z}}=-6z.$$ Estas parciales son continuas en $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^2$, en particular en cualquier subconjunto abierto $A$ que contiene al punto $P(1,-2,2).$ Es decir, $F\in\mathcal{C}^1(A).$ Por otra parte $$\det\; \begin{bmatrix}{\frac{{\partial F_1}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial F_1}}{{\partial z}}}\\ \\{\frac{{\partial F_2}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial F_2}}{{\partial z}}}\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}{2y}&{-6z}\\{4y}&{-6z}\end{vmatrix}=12yz.$$ Sustituyendo en $(x,y,z)$ la coordenadas del punto dado $(1,-2,2)$ obtenemos que el determinante es $-48\neq 0.$ Concluimos que el sistema dado define una única función implícita $(y,z)=(y(x),z(x))$ de clase 1 (y por tanto diferenciable) un entorno de $P=(a,b)$ con $a=1$ y $b=(-2,2).$ Derivando las ecuaciones dadas respecto de $x$ obtenemos $$\left \{ \begin{matrix} 14x+2yy’-6zz’=0\\8x+4yy’-6zz’=0.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema en las incógnitas $y’,z’$ obtenemos $y’=3x/y\:,\;z’=(10x)/(3z).$ Derivando estas dos últimas igualdades respecto de $x$ $$\left \{ \begin{matrix} y’=\dfrac{3x}{y}\\\\ z’=\dfrac{10x}{3z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} y”=3\;\dfrac{y-xy’}{y^2}\\\\ z’=\dfrac{10}{3}\;\dfrac{z-xz’}{z^2}.\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo en $(x,y,z)$ la coordenadas del punto dado $(1,-2,2)$: $$y’(1)=-\dfrac{3}{2}\;,\;z’(1)=\dfrac{5}{3}\;,\;y”(1)=-\dfrac{3}{8}\;,\;z”(1)=\dfrac{5}{18}.$$
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