Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m.$

TEORÍA

1 (a) Probar que el sistema $$\left \{ \begin{matrix} xz^3+y^2u^3=1\\2xy^3+u^2z=0,\end{matrix}\right.$$ define a $z,u$ como funciones implícitas diferenciables de las variables $x,y$ en un entorno del punto $P(0,1,0,1).$
(b) Hallar las derivadas parciales en el punto $a=(0,1)$ de las funciones implícitas $z=z(x,y)$ y $u=u(x,y)$ que determinan el sistema anterior.

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la ecuación $x^2y+y^2x+z^2\cos (xz)=1$ define a $z$ como función implícita $z=z(x,y)$ en un entorno del punto $P(0,\sqrt{2},1).$ Hallar las derivadas parciales $\dfrac{{\partial z}}{{\partial x}}(0,\sqrt{2}),$ $\dfrac{{\partial z}}{{\partial y}}(0,\sqrt{2}).$

SOLUCIÓN

3 Demostrar que el sistema $$\left \{ \begin{matrix} 7x^2+y^2-3z^2=-1\\4x^2+2y^2-3z^2=0\end{matrix}\right.$$ define funciones diferenciables $y=y(x),z=z(x)$ de la variable independiente $x$ en un entorno del punto $P(1,-2,2).$ Hallar $y’(1)\;,\;z’(1)\;,\;y”(1)\;,\;z”(1).$

SOLUCIÓN
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