Anillo y grupo de matrices

Estudiamos un anillo y grupo de matrices.

    Enunciado
    Dada una matriz $M\in M_n(\mathbb{R})$ se consideran los siguientes subconjuntos:
    $$\mathcal{M}=\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\}\\\mathcal{N}=\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\mbox{ y }A\mbox{ regular}\}$$ Se pide:
  1. Analizar si $(\mathcal{M},+,\cdot) $ es un anillo.
  2. Analizar si $(\mathcal{N},\cdot) $ es un grupo.
  3. Si es $n=2$ y $M=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}$ , hallar $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}$.

    (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Aeronáuticos, UPM).

    Solución
  1. Sabemos que $(M_n(\mathbb{R}),+,\cdot)$ es un anillo y además $\mathcal{M}\subset M_n(\mathbb{R})$. Veamos si $\mathcal{M}$ es subanillo de $M_n(\mathbb{R})$ con lo cual estará demostrado que es anillo. Usaremos la conocida caracterización de subanillos.
    (a) Como $0M=M0$, se verifica $0\in\mathcal{M}$ es decir, $\mathcal{M}\neq \emptyset$.
    (b) Sean $A,B\in\mathcal{M}$, entonces: $$(A-B)M=AM-BM=MA-MB=M(A-B)\Rightarrow{AB\in\mathcal {M}}.$$ (c) Sean $A,B\in\mathcal{M}$, entonces:$$(AB)M=A(BM)=A(MB)=(AM)B=(MA)B=M(AB)\Rightarrow AB\in\mathcal{M}.$$ En consecuencia, $(\mathcal{M},+,\cdot) $ es un anillo.
  2. Sabemos que el conjunto de $\mbox {GL}_n(\mathbb{R})$ de las matrices cuadradas de orden $n$ y con determinante no nulo es grupo con la operación producto usual (grupo lineal). Como $\mathcal{N}\subset \mbox{GL}_n(\mathbb{R})$, para demostrar que $\mathcal{N}$ es grupo bastará demostrar que es un subgrupo del grupo lineal. Usaremos la conocida caracterización de subgrupos.
    (a) Como $IM=MI=M$ siendo $I$ regular, se verifica $I\in\mathcal{N}$ es decir, $\mathcal{N}\neq \emptyset$.
    (b) Sean $A,B\in \mathcal{N}$. Entonces $B$ es invertible y $BM=MB$, por tanto $$BM=MB\Rightarrow M=B^{-1}MB\Rightarrow MB^{-1}=B^{-1}M.$$ Como $A\in\mathcal{N}$, $A$ es invertible y $AM=MA$. Entonces $$(AB^{-1})M=A(B^{-1}M)=A(MB^{-1})\\=(AM)B^{-1}=(MA)B^{-1}=M(AB^{-1}).$$ Dado que $A$ y $B^{-1}$ son invertibles, también lo es el producto $AB^{-1}$. Hemos demostrado que $AB^{-1}\in\mathcal{N}$. Por tanto $\mathcal{N}$ es subgrupo de $\mbox {GL}_n(\mathbb{R})$ y como consecuencia es grupo.
  3. Si $A=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{z}&{t}\end{bmatrix}$ e imponiendo $AM=MA$: $$\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{z}&{t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{z}&{t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}\Leftrightarrow\ldots \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}y+z=0\\x-2z-t=0\\x-2y-t=0\\y+z=0.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos las soluciones $x=\lambda,\;y=0,\;z=0,\;t=\lambda\;\;(\lambda\in\mathbb{R})$ es decir $\mathcal{M}=\{\lambda I:\lambda\in\mathbb{R}\}$ (matrices escalares). Las matrices de $\mathcal{N}$ son las de $\mathcal{M}$ que además son invertibles, es decir $\mathcal{M}=\{\lambda I:\lambda\in\mathbb{R}-\{0\}\}$.
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