Norma de una matriz antisimétrica

Calculamos la norma de una matriz antisimétrica genérica.

Enunciado
Calcular la norma $ \left\|{A}\right\|_2$ de la matriz

$A=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-c}&{\;\;b}\\{\;\;c}&{\;\;0}&{-a}\\{-b}&{\;\;a}&{\;\;0}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Sabemos que $ \left\|{A}\right\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}}$ siendo $\lambda_{\max}$ el mayor valor propio de $A^tA$.

$A^tA=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{\;\;c}&{-b}\\{-c}&{\;\;0}&{\;\;a}\\{\;\;b}&{-a}&{\;\;0}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-c}&{\;\;b}\\{\;\;c}&{\;\;0}&{-a}\\{-b}&{\;\;a}&{\;\;0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{c^2+b^2}&{-ab}&{-ac}\\{-ab}&{c^2+a^2}&{-cb}\\{-ac}&{-cb}&{b^2+a^2}\end{bmatrix}.$

El polinomio característico $\chi (\lambda)$ de una matriz $M$ de orden $3\times 3$ viene dado por

$\chi (\lambda)=-\lambda^3+(\textrm{tr}\;M)\lambda^2-(M_{11}+M_{22}+M_{33})\lambda+\det M.$

en donde $M_{ii}$ son los adjuntos de $m_{ii}.$ Para $M=A^tA$ tenemos $$\textrm{tr}\;M=2(a^2+b^2+c^2).$$ Los adjuntos $M_{ii}$ son

$$M_{11}=\begin{vmatrix}{c^2+a^2}&{-cb}\\{-cb}&{b^2+a^2}\end{vmatrix}=a^2b^2+c^2a^2+a^4=a^2(a^2+b^2+c^2),$$ $$
M_{22}=\begin{vmatrix}{c^2+b^2}&{-ac}\\{-ac}&{b^2+a^2}\end{vmatrix}=c^2b^2+b^4+a^2b^2=b^2(a^2+b^2+c^2),$$ $$
M_{33}=\begin{vmatrix}{c^2+b^2}&{-ab}\\{-ab}&{c^2+a^2}\end{vmatrix}=c^4+b^2c^2+c^2a^2=c^2(a^2+b^2+c^2).$$

Dado que $\det A=0$, tenemos $\det M=\det (A^tA)=(\det A^t)(\det A)=0$. Entonces

$$\chi (\lambda)=-\lambda^3+2(a^2+b^2+c^2)\lambda^2+(a^2+b^2+c^2)^2\lambda$$ $$=-\lambda\left(\lambda-(a^2+b^2+c^2)\right)^2.$$

Los valores propios de $A^tA$ son $0$ (simple) y $a^2+b^2+c^2$ (doble). Por tanto:

$ \left\|{A}\right\|_2=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

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