Homomorfismos de anillos

Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de anillos.

TEORÍA

1  Se considera el anillo $\mathcal{A}=\{\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}.$ Demostrar que es un  isomorfismo entre anillos, la aplicación $f:\mathbb{C}\to \mathcal{A}$ dada por $$f(x+iy)=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

2  Demostrar que la siguiente aplicación es epimorfismo de anillos: $$f:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n)=a_0.$$

SOLUCIÓN

3  Sea $f:A\to B,$ un homomorfismo de anillos. Demostrar que $\ker f$ es subanillo de $A.$

SOLUCIÓN

4  Sea $f:A\to B,$ un homomorfismo de anillos. Demostrar que $\operatorname{Im} f$ es subanillo de $B.$

SOLUCIÓN

5  En $\mathbb{R}^2$ se consideran las operaciones: $$\begin{aligned}&(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’),\\
&(x,y)\cdot (x’,y’)=(xx’,yy’).
\end{aligned}$$ Es fácil demostrar (y no se pide en este problema), que $\mathbb{R}^2$ es un anillo con las anteriores operaciones. Para $a,b$ números reales fijos, se define la aplicación $\phi:\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\to \mathbb{R}^2,$ $\phi (f)=(f(a),f(b)).$
Demostrar que $\phi$ es homomorrfismo de anillos y determinar $\ker \phi.$

SOLUCIÓN
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