Ideal de las sucesiones acotadas

Demostramos que las sucesiones nulas son un ideal del anillo de las sucesiones acotadas.

Enunciado
Demostrar que el conjunto $\mathcal{N}$ de las sucesiones reales nulas, es decir de límite $0,$ es un ideal del anillo $\mathcal{B}$ de las sucesiones acotadas de números reales.

Solución
Sabemos que toda sucesión convergente está acotada, por tanto $\mathcal{N}\subset \mathcal{B}.$ La sucesión nula $0=(0)$ tiene límite $0$, por tanto $0\in\mathcal{N},$ es decir $\mathcal{N}\neq \emptyset.$

Si $x=(x_n)$ e $y=(y_n)$ son elementos de $\mathcal{N},$ entonces $(x_n)\to 0$ e $(y_n)\to 0$ lo cual implica por conocidas propiedades de los límites que $x-y=(x_n-y_n)\to 0,$ luego $x-y\in \mathcal{N}.$

Por último, si $a=(a_n)\in \mathcal{B}$ y $(x_n)\in \mathcal{N},$ entonces $(a_n)$ está acotada y $(x_n)$ es una sucesión nula. Por una conocida propiedad de los límites, $ax=(a_nx_n)$ es sucesión nula, luego $ax\in\mathcal{N}.$

Concluimos que $\mathcal{N}$ es ideal de  $\mathcal{B}.$

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