Ideales de un anillo

Proporcionamos ejercicios sobre ideales de un anillo.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $m$ entero y $(m)=\{x\in\mathbb{Z}:x\text{ es múltiplo de }m\}.$ Demostrar que $(m)$ es ideal de $\mathbb{Z}.$
  2. Demostrar que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo inicial.
  3. Demostrar que todo ideal de un anillo es subanillo del mismo.
  4. Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y $a_1,\ldots,a_n$ elementos de $R.$ Se define $$(a_1,\ldots,a_n)=\{r_1a_1+\cdots r_na_n:r_i\in R\}$$ $(a)$ Demostrar que $(a_1,\ldots,a_n)$ es ideal de $R$
    $(b)$ Demostrar que es el menor de entre todos los ideales de $R$ que contienen a $\{a_1,\ldots,a_n\}.$
    Nota. A $(a_1,\ldots,a_n)$ se le llama ideal generado por $\{a_1,\ldots,a_n\}.$
  5. (Suma de ideales). Sean $I,J$ ideales de un anillo $A.$ Se define la suma de $I$ y $J$ de la forma: $$I+J=\{x\in A:x=i+j\text{ con }i\in I,\;j\in J\}.$$ Demostrar que $I+ J$ es ideal de $A.$
  6. (Intersección de ideales). Sean $I,J$ ideales de un anillo $A.$ Demostrar que $I\cap J$ es ideal de $A.$
    Solución
  1. Se verifica $ 0=0 m,$ por tanto $0$ es múltiplo de $m,$ es decir $0\in (m),$ y por tanto $(m)\neq \emptyset.$ Sean $x,y\in (m),$ entonces $x=km$ e $y=sm$ para ciertos enteros $k$ y $s$. Ahora bien, $x-y=(k-s)m$ siendo $k-s$ entero, lo cual implica que $x-y\in (m).$ Por último, para todo $a\in \mathbb{Z},x\in (m):$ $$xa=ax=a(km)=(ak)m\Rightarrow xa=ax\in (m).$$ Concluimos que $(m)$ es ideal de $\mathbb{Z}.$
  2. Sea $f:A\to B$ un homomorfismo de anillos. Sabemos que $\ker f$ es subgrupo aditivo de $A,$ por tanto $\ker f\neq \emptyset$ y para todo $x,y\in I$ se verifica $x-y\in I.$ Por otra parte, $\forall a\in A$ y $\forall x\in I:$ $$\begin{aligned}& f(ax)=f(a)f(x)=f(a)\cdot 0=0\Rightarrow ax\in \ker f.\\
    &f(xa)=f(x)f(a)=0\cdot f(a)=0\Rightarrow xa\in \ker f.
    \end{aligned}$$ Concluimos que $\ker f$ es ideal de $A$.
  3. Sea $A$ un anillo e $I$ un ideal de $A.$ Entonces $I\neq \emptyset$ y $x-y\in I$ para todo $x,y\in I.$ Por otra parte, al cumplirse $ax\in I$ y $xa\in I$ para todo $a\in A,x\in I,$ también se cumple $yx\in I$ $xy\in I$ para todo $y\in I,x\in I.$ Por el teorema de caracterización de subanillos, concluimos que $I$ es subanillo de $A.$
  4. $(a)$ Se verifica $0=0a_1+\cdots 0a_n,$ por tanto $0\in (a_1,\ldots,a_n)\neq \emptyset.$ Si $x$ e $y$ son elementos de $(a_1,\ldots,a_n),$ $$\begin{aligned}&x=r_1a_1+\cdots r_na_n,\;r_i\in R,\\
    &y=r’_1a_1+\cdots r’_na_n,\;r’_i\in R.\end{aligned}$$ Entonces, $x-y=(r_1-r’_1)a_1+\cdots (r_n-r’_n)a_n$ con $r_i-r’_i\in R,$ luego $$x-y\in (a_1,\ldots,a_n) .$$ Si $r\in R$ entonces $rx=(rr_1)a_1+\cdots (rr_n)a_n$ con $rr_i\in R,$ luego $rx\in (a_1,\ldots,a_n) .$
    $(b)$ Para todo $a_i$ se verifica $a_i=0a_1+\cdots +1a_i+\cdots+0a_n,$ por tanto $$\{a_1,\ldots,a_n\}\subset (a_1,\ldots,a_n).$$ Sea ahora un ideal $I$ de $R$ que contiene a $\{a_1,\ldots,a_n\}.$ Entonces, si $x\in (a_1,\ldots,a_n),$ al ser de la forma $x=r_1a_1+\cdots r_na_n$ con $r_i\in R$ y los $a_i\in I,$ necesariamente $x\in I$ por ser $I$ ideal. Es decir, $(a_1,\ldots,a_n)\subset I.$
  5. Como $I,J$ son ideales de $A,$ son subanillos de este, por tanto $0$ pertenece a ambos, con lo cual $0=0+0\in I+J.$ Es decir, $I+J\neq \emptyset.$ Si $x,y\in I+ J,$ entonces $x=i_1+j_1$ con $i_1\in I,\;j_1\in J$ e $y=i_2+j_2$ con $i_2\in I,\,j_2\in J.$ Entonces, $$x-y=(i_1+j_1)-(i_2+j_2)=(i_1-i_2)+(j_1-j_2),$$ y al ser $I,J$ ideales, $i_1-i_2\in I$ y $j_1-j_2\in J,$ luego $x-y\in I+J.$
    Si $a\in A$ y $x\in I+J:$ $$\begin{aligned}& ax=a(i_1+j_1)=ai_1+aj_1,\\
    &xa=(i_1+j_1)a=i_1a+j_1a,
    \end{aligned}$$ y al ser $I,J$ ideales, $ai_1$ e $i_1a$ pertenecen a $I,$ y $aj_1$ y $j_1a$ pertenecen a $J,$ luego $ax$ y $xa$ pertenecen a $I+J.$
  6. Como $I,J$ son ideales de $A,$ son subanillos de este, por tanto $0$ pertenece a ambos, es decir $I\cap J\neq \emptyset.$ Si $x,y\in I\cap J,$ entonces $x-y$ pertenece a $I$ y a $J$ por ser ideales, luego $x-y\in I\cap J.$ Si $a\in A$ y $x\in I\cap J,$ entonces $ax$ y $xa$ pertenecen a $I$ y a $J$ por ser ideales, luego $ax\in I\cap J$ y $xa\in I\cap J.$
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