Ideales de un anillo

Proporcionamos ejercicios dobre ideales de un anillo.

TEORÍA

1  Sea $m$ entero y $(m)=\{x\in\mathbb{Z}:x\text{ es múltiplo de }m\}.$ Demostrar que $(m)$ es ideal de $\mathbb{Z}.$

SOLUCIÓN

2  Demostrar que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo inicial.

SOLUCIÓN

3  Demostrar que todo ideal de un anillo es subanillo del mismo.

SOLUCIÓN

4  Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y $a_1,\ldots,a_n$ elementos de $R.$ Se define $$(a_1,\ldots,a_n)=\{r_1a_1+\cdots r_na_n:r_i\in R\}$$ $1.$ Demostrar que $(a_1,\ldots,a_n)$ es ideal de $R$
$2.$ Demostrar que es el menor de entre todos los ideales de $R$ que contienen a $\{a_1,\ldots,a_n\}.$
Nota. A $(a_1,\ldots,a_n)$ se le llama ideal generado por $\{a_1,\ldots,a_n\}.$

SOLUCIÓN

5  Suma de ideales. Sean $I,J$ ideales de un anillo $A.$ Se define la suma de $I$ y $J$ de la forma: $$I+J=\{x\in A:x=i+j\text{ con }i\in I,\;j\in J\}.$$ Demostrar que $I+ J$ es ideal de $A.$

SOLUCIÓN

6  Intersección de ideales. Sean $I,J$ ideales de un anillo $A.$ Demostrar que $I\cap J$ es ideal de $A.$

SOLUCIÓN
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