Seno de 72 grados

Calculamos el seno de 72 grados transformando una ecuación compleja.

Enunciado
Se considera la ecuación $$z^2+z+1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}=0.$$ 1)  Multiplicar por $z-1$ dicha ecuación.
2)  Efectuar un cambio $w=z+\dfrac{1}{z}$ en la citada ecuación reduciéndola a otra cuya única variable sea $w$.
3)  Aplicar lo anterior a obtener razonadamente $\sin 72^0$ en la forma

$\sin 72^0=\dfrac{p}{q}\sqrt[ m]{e+f\sqrt[n]{g}}+i(1-\beta),$

determinando el número real $\beta$ y los enteros $p,\;q,\;m,\;e,\;f,\;n,\;g$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1) Multiplicando ambos miembros por $z-1:$

$(z-1)\left(z^2+z+1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}\right)=\ldots=z^3-\dfrac{1}{z^2}=0.$

Ecuación equivalente a la dada salvo por la raíz $z=1$.

2) Tenemos $w^2=(z+1/z)^2=z^2+2+1/z^2$ por consiguiente

$$z^2+z+1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}=\left(z^2+\dfrac{1}{z^2}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)+1$$ $$=w^2-2+w+1=w^2+w-1=0.$$

3) La ecuación $z^3-1/z^2=0$ es equivalente a $z^5-1=0$. Hallemos sus raíces

$z_k=\sqrt[5]{1}=\sqrt[5]{1(\cos 0^0+i\sin 0^0)}=\cos \dfrac{360^0 k}{5}+i\sin \dfrac{360^0 k}{5}\quad (k=0,1,2,3,4).$

Para $k=1$ obtenemos la raíz $z_1=\cos 72^0+i\sin 72^0=a+bi$. Las raíces de $w^2+w-1=0$ son $w=(-1\pm \sqrt{5})/2=z+1/z$. Entonces

$\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}=a+bi+\dfrac{1}{a+bi}=a+bi+\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}=a+\dfrac{a}{a^2+b^2}+b\left(1-\dfrac{1}{a^2+b^2}\right)i.$

Como la parte imaginaria es nula obtenemos $b=0$ o $a^2+b^2=1$. Si $b=0$ entonces $a=\pm 1$ y no coinciden las partes reales, por tanto ha de ser $a^2+b^2=1$. Igualando partes reales obtenemos $(-1\pm\sqrt{5})/2=2a$. Es decir $a=\cos 72^0=(-1+\sqrt{5})/4$ (elegimos el signo $+$ pues $\cos 72^0>0$ ). Hallemos $\sin 72^0:$

$$b=\sin 72^0=\sqrt{1-\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}.$$

Además, $p=1,q=4,m=2,e=10,f=2,n=2,g=5,\beta=1$.

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