Subanillos

Proporcionamos ejercicios sobre subanillos.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y sea $B$ un subconjunto no vacío de $A.$ Demostrar que: $$B\text{ es subanillo de }A\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}& (i)\;a,b\in B\Rightarrow a-b\in B\\
    &(ii)\; a,b\in B\Rightarrow ab\in B.
    \end{aligned} \end{matrix}\right.$$
  2. Demostrar que el subconjunto $(m)$ de todos los múltiplos del número entero $m$ es un subanillo de $\mathbb{Z}.$
  3. Demostrar que el conjunto $B=\{a+b\sqrt{2}:x,y\in \mathbb{Z}\}$ es un subanillo del anillo $\mathbb{R}.$
  4. Se considera el conjunto de matrices: $$\mathcal{A}=\{\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}.$$ Demostrar que $\mathcal{A}$ es un subanillo del anillo usual $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de las matrices cuadradas reales de orden $2.$
  5. Demostrar que el conjunto $\mathcal{B}$ de las sucesiones acotadas de números reales es un subanillo del anillo $\mathcal{S}$ de las sucesiones de números reales.
    Solución
  1. $\Rightarrow)$ Si $B$ es subanillo de $A,$ entonces $B\neq \emptyset$ pues $0\in B.$ Además, $B$ es subgrupo aditivo de $A$, luego se cumple $(i).$ Como la operación producto es interna en $B$, se cumple $(ii).$
    $\Leftarrow)$ De $B\neq \emptyset$ y $(i),$ se deduce que $(B.+)$ es subgrupo de $(A,+)$ y además abeliano por serlo $(A,+),$ es decir, $(B.+)$ es grupo abeliano. De $(ii)$ se deduce que la operación producto es interna en $B,$ y además, es asociativa en $B$ por serlo en $A,$ lo cual implica que $(B,\cdot)$ es semigrupo.
    Por último, se cumple la propiedad distributiva en $B$ al cumplirse en $A.$ Concluimos que $(B,+,\cdot)$ es anillo, y por tanto $B$ es subanillo de $A.$
  2. Dado que $0=0\cdot m,$ el número cero es múltiplo de $m,$ lo cual implica que $(m)\neq \emptyset.$ Si $a,b\in (m),$ entonces $a=rm$ y $b=sm$ para ciertos enteros $r$ y $s.$ Entonces, $$a-b=(r-s)m,\quad ab=(rsm)m.$$ Como $r-s$ y $rsm$ son enteros, $a-b$ y $ab$ son múltiplos de $m,$ es decir $a-b\in (m)$ y $ab\in (m),$ lo cual demuestra que $(m)$ es un subanillo de $\mathbb{Z}.$
  3. Claramente, $B\neq \emptyset$ y $B\subset \mathbb{R}.$ Para todo $a+b\sqrt{2},$ $c+d\sqrt{2}$ elementos de $B:$ $$\begin{aligned}&(a+b\sqrt{2})-(c+d\sqrt{2})=(a-c)+(b-d)\sqrt{2}.\\
    &(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}.
    \end{aligned}$$ Dado que la suma, resta y producto de enteros es entero, la diferencia y producto de elementos de $B,$ pertenece a $B.$ Concluimos que $B$ es un subanillo del anillo $\mathbb{R}.$
  4. Para $x=y=0,$ obtenemos la matriz nula de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),$ y por tanto $\mathcal{A}$ es distinto del vacío. Consideremos dos matrices genéricas de $\mathcal{A}:$ $$M=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix},\quad N=\begin{bmatrix}{x’}&{y’}\\{-y’}&{x’}\end{bmatrix}.$$ Calculemos $M-N$ y $MN:$ $$M-N=\begin{bmatrix}{x-x’}&{y-y’}\\{-(y-y’)}&{x-x’}\end{bmatrix}.$$ $$MN=\begin{bmatrix}{xx’-yy’}&{xy’+yx’}\\{-(xy’+yx’)}&{xx’-yy’}\end{bmatrix}.$$ Claramente, $M+N$ y $MN$ son matrices de $\mathcal{A}.$ Concluimos que $\mathcal{A}$ es subanillo de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}).$
  5. $(i)$ La sucesión nula $0=(0)$ está acotada, por tanto $0\in\mathcal{B}.$
    $(ii)$ Si $x=(x_n),\;y=(y_n)$ son elementos de $\mathcal{B},$ son sucesiones acotadas, es decir: $$\begin{aligned}& \exists M>0: \left|x_n\right|\leq M\quad \forall n,\\
    & \exists K>0: \left|y_n\right|\leq K\quad \forall n,
    \end{aligned}$$ entonces $\left|x_n-y_n\right|=\left|x_n+(-y_n)\right|\leq \left|x_n\right|+\left|-y_n\right|=\left|x_n\right|+\left|y_n\right|\leq M+K$ lo cual implica que $x-y$ está acotada, por tanto $x-y\in \mathcal{B}.$
    $(iii)$ Si $x=(x_n),\;y=(y_n)$ son elementos de $\mathcal{B},$ entonces $\left|x_ny_n\right|=\left|x_n\right|\left|y_n\right|<MK,\;\forall n,$ lo cual implica que $xy$ está acotada, por tanto $xy\in \mathcal{B}.$
    Concluimos que $\mathcal{B}$ es subanillo de $\mathcal{S}.$ Es además conmutativo (pues $\mathcal{S}$ lo es), y unitario al ser $1=(1)$ sucesión acotada.
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