Subanillos

Proporcionamos ejercicios sobre subanillos.

TEORÍA

1  Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y sea $B$ un subconjunto no vacío de $A.$ Demostrar que: $$B\text{ es subanillo de }A\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}& (i)\;a,b\in B\Rightarrow a-b\in B\\
&(ii)\; a,b\in B\Rightarrow ab\in B.
\end{aligned} \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN

2  Demostrar que el subconjunto $(m)$ de todos los múltiplos del número entero $m$ es un subanillo de $\mathbb{Z}.$

SOLUCIÓN

3  Demostrar que el conjunto $B=\{a+b\sqrt{2}:x,y\in \mathbb{Z}\}$ es un subanillo del anillo $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

4  Se considera el conjunto de matrices: $$\mathcal{A}=\{\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}.$$ Demostrar que $\mathcal{A}$ es un subanillo del anillo usual $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de las matrices cuadradas reales de orden $2.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que el conjunto $\mathcal{B}$ de las sucesiones acotadas de números reales es un subanillo del anillo $\mathcal{S}$ de las sucesiones de números reales.

SOLUCIÓN
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