Una derivada direccional máxima

Enunciado
Determinar los valores de las constantes $a,b$ y $c$ tales que la derivada direccional de la función $f(x,y,z)=axy^2+byz+cz^2x^3$ en el punto $(1,2,-1)$ tenga un valor máximo de 64 en una dirección paralela al eje $z.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

Solución
La derivadas parciales de $f$ son

$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=ay^2+3cz^2x^2\;,\;\;\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=2axy+bz\;,\;\;\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}=by+2czx^3.$

Estas parciales son continuas en todo $\mathbb{R}^3$ lo cual asegura que $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}^3$ y en particular en el punto dado. Esto asegura la existencia de las derivadas direccionales en tal punto. El gradiente es

$\nabla f(x,y,z)=(ay^2+3cz^2x^2,2axy+bz,by+2czx^3).$

Es decir, $\nabla f(1,2,-1)=(4a+3c,4a-b,2b-2c).$ Sabemos que la derivada direccional máxima es el módulo del vector gradiente y se obtiene en un vector unitario paralelo a dicho vector. Los vectores unitarios paralelos al eje $z$ son $(0,0,\alpha)$ con $\alpha=\pm 1.$ Por tanto $\left\|{\nabla f(1,2,-1)}\right\|=|\alpha|=64\Rightarrow \alpha=\pm 64 .$ En consecuencia

$\left \{\begin{matrix} 4a+3c=0\\4a-b=0\\2b-2c=\pm 64.\end{matrix}\right.$

Para $\alpha=64$ obtenemos $(a,b,c)=(6,24,-8)$ y para $\alpha=64$, $(a,b,c)=(-6,-24,8).$

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