Una integral con residuo en el punto del infinito

Enunciado
Calcular la integral: $I=\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\dfrac{z^{17}dz}{(z^2+2)^3(z^3+3)^4}.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

Solución
La función integrando $f(z)$ tiene en la región $\left|z\right|<3$ dos polos triples y tres cuádruples. Esto hace prácticamente inviable calcular la integral por medio de estos polos. Usaremos en su lugar el residuo en el punto del infinito. Concretamente aplicaremos la conocida propiedad: si una función $g(z)$ tiene en el plano extendido $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ un número finito de puntos singulares, entonces la suma de todos los residuos, incluido el residuo en el infinito, es igual a $0$. Es decir, si $z_1,\ldots,z_m$ son las singularidades finitas de $g(z)$ entonces: $$\textrm{Res}(g,\infty)+\displaystyle\sum_{k=1}^m{\textrm{Res}(g,z_k)}=0.$$ Nótese que todos las singularidades finitas de la función integrando dada $f(z)$ están en $|z|<3$. En consecuencia: $$I=\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}f(z)\;dz=-2\pi i \;\textrm{Res}(f,\infty).$$ Para calcular $\textrm{Res}(f,\infty)$ hallaremos el desarrollo en serie de Laurent de $f(z)$ en potencias enteras de $z$. Tenemos: $$f(z)=\dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{z^{18}}{(z^2+2)^3(z^3+3)^4}=\dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{2}{z^2}\right)^3 \left(1+\dfrac{3}{z^3}\right)^4 }=\dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{1}{h(z)}.$$ Usando la serie geométrica es claro que el desarrollo en serie de Laurent de $h(z)$ en un entorno de $\infty$ es de la forma: $$h(z)=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{a_n}{z^n}.$$ Efectuando la división de $1$ entre $h(z)$ según las potencias crecientes de $z$ obtenemos la forma del desarrollo de $f(z):$ $$f(z)=\dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{h(z)}=\dfrac{1}{z}\left(1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{b_n}{z^n} \right)=\dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{b_n}{z^{n+1}}.$$ Por otra parte sabemos que $\textrm{Res}(f,\infty)=-\textrm{coef}(1/z)$ en el desarrollo de de Laurent de $f(z)$ en un entorno de $\infty$. Podemos por tanto concluir que: $$I=\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\dfrac{z^{17}dz}{(z^2+2)^3(z^3+3)^4}=2\pi i.$$

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