Anillo cociente

Construimos el anillo cociente asociado a un ideal.

Enunciado
Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo, e $I$ un ideal de $A.$ Demostrar que $A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un anillo con las operaciones: $$\begin{aligned} (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\quad (a+I)\cdot (b+I)=ab+I.\end{aligned}$$ Demostrar también que si $A$ es conmutativo (unitario), entonces $A/I$ es conmutativo (unitario).

Solución
$1)$ $(A/I,+,\cdot)$ es grupo abeliano. En efecto, como $I$ es un subgrupo aditivo de $A,$ y la operación $+$ es conmutativa, $I$ es subgrupo normal de $A,$ y según sabemos $A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un grupo (además abeliano) con la operación $+,$ $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I.$

$2)$ $(A/I,\cdot)$ es semigrupo. Lo primero que tenemos que demostrar es que la operación producto está bien definida en $A/I,$ es decir que el producto depende de las clases en sí, y no del representante que elijamos de las mismas. Equivalentemente, tenemos que demostrar que: $$a+I=a’+I\text{ y }b+I=b’+I\Rightarrow ab+I=a’b'+I.$$ En efecto, si $a+I=a’+I$ y $b+I=b’+I,$ entonces $a’\in a+I$ y $b’\in b+I,$ o sea $a’=a+x,$ $b’=b+y$ para ciertos $x,y\in I.$ Ahora bien,
$$a’b'=(a+x)(b+y)=ab+xb+ay+xy.$$ Como $I$ es ideal, la suma $xb+ay+xy$ pertenece a $I,$ y por tanto $a’b'\in ab+I,$ luego $a’b'+I=ab+I.$ Queda pues demostrado que la operación producto está bien definida en $A/I.$

Interna. Por la propia definición, el producto de dos elementos de $A/I$ es un elemento de $A/I.$

Asociativa. Para $a+I,$ $b+I,$ $c+I$ elementos cualesquiera de $A/I,$ y usando la propiedad asociativa del producto en $A:$ $$\begin{aligned}& \left[(a+I)(b+I\right](c+I)=(ab+I)(c+I)=(ab)c+I.\\
&=a(bc)+I=(a+I)(bc+I)=(a+I)\left[(b+I)(c+I)\right].
\end{aligned}$$ $3)$ En $A/I$ el producto es distributivo respecto de la suma. En efecto, para $a+I,$ $b+I,$ $c+I$ elementos cualesquiera de $A/I,$ y usando la propiedad distributiva en $A:$ $$\begin{aligned}& (a+I)\left[(b+I)+(c+I\right]=(a+I)\left[(b+c)+I\right]=a(b+c)+I=\\
&(ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I).
\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}& \left[(a+I)+(b+I\right](c+I)=\left[(a+b)+I\right](c+I)=(a+b)c+I=\\
&(ac+bc)+I=(ac+I)+(bc+I)=(a+I)(c+I)+(b+I)(c+I).
\end{aligned}$$ Concluimos que $(A/I,+,\cdot)$ es anillo. Por último, si $A$ es conmutativo, para $a+I,$ $b+I,$ elementos cualesquiera de $A/I:$ $$(a+I)(b+I)=ab+I=ba+I=(b+I)(a+I)$$ luego $A/I$ es conmutativo. Si $A$ es unitario con elemento unidad $1,$ para todo elemento $a+I$ de $A/I:$ $$\begin{aligned}&(a+I)(1+I)=a\cdot 1+I=a+I,\quad (1+I)(a+I)=1\cdot a+I=a+I,
\end{aligned}$$ es decir $A/I$ es unitario con elemento unidad $1+I.$

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