Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos

Demostramos el teorema de la descomposición canónica de un homomorfismo de anillos.

    Enunciado
    Sea $f:A\to A’$ un homomorfismo entre los anillos $A$ y $A’.$ Demostrar que,
  1. $n:A\to A/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo.
  2. $g:A/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x+\ker f)=f(x)$ es isomorfismo.
  3. $i:\operatorname{Im}f\to A’,\;i(x)=x$ es monomorfismo.
  4. El siguiente diagrama es conmutativo:  $$\begin{matrix}A\xrightarrow{\;\;\;\;\;f\;\;\;\;\;}A’\\n\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow{} i\\A/\ker f\xrightarrow{\;\;g\;\;}\operatorname{Im}f\end{matrix}$$ es decir,  $f=i\circ g\circ n.$
    Solución
  1. Como $\ker f$ es un ideal de $A,$ está definido el anillo cociente $A/\ker f.$ Para todo $a,a’$ elementos de $A:$ $$\begin{aligned}& n(a+a’)=(a+a’)+\ker f=(a+\ker f)+(a’+\ker f)=n(a)+n(a’)\\
    &n(aa’)=(aa’)+\ker f=(a+\ker f)(a’+\ker f)=n(a)n(a’),
    \end{aligned}$$ es decir $n$ es homomorfismo de anillos. Por otra parte, todo elemento $a+\ker f$ es $a+\ker f=n(a),$ luego $n$ es sobreyectiva. Concluimos que $n$ es epimorfismo de anillos.
  2. $(a)$ Veamos que la aplicación $g$ está bien definida, es decir que $g(a+\ker f)$ no depende del representante sino de la clase en sí.  En efecto, supongamos que $a+\ker f=a’+\ker f,$ entonces $a-a’\in \ker f,$ que equivale a $f(a-a’)=0$.
    Pero  $f(a-a’)=0\Leftrightarrow f(a)-f(a’)=0\Leftrightarrow f(a)=f(a’),$ es decir $g(a+\ker f)=g(a’+\ker f).$
    $(b)$ Veamos que $g$ es homomorfismo de anillos. Para todo $a+\ker f,$ $a’+\ker f$ elementos de $A/\ker f:$ $$\begin{aligned}& g[(a+\ker f)+(a'+\ker f)]=g[(a+a')+\ker f]=f(a+a’)\\
    &=f(a)+f(a’)=g(a+\ker f)+g(a’+\ker f).\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} &g[(a+\ker f)(a'+\ker f)]=g[(aa')+\ker f]=f(aa’)\\
    &=f(a)f(a’)=g(a+\ker f)g(a’+\ker f).\\
    \end{aligned}$$  $(c)$ Veamos que $g$ es monomorfismo. El núcleo de $g$ es:
    $$\begin{aligned}& \ker g=\{a+\ker f\in A/\ker f:g(a+\ker f)=f(a)=0\}\\
    &=\{\ker f\}=\{0+\ker f\},
    \end{aligned}$$ es decir el núcleo de $g$ se reduce a elemento neutro de $A/\ker f$ lo cual implica que $g$ es inyectiva.
    $(d)$ Veamos que $g$ es epimorfismo. En efecto, si $b\in \operatorname{Im}f,$ entonces $b=f(a)$ para algún $a\in A,$ luego $b=g(a+\ker f).$ Esto implica que $g$ es sobreyectiva. Concluimos que $g$ es isomorfismo.
  3. Para todo $b,b’$ elementos de $\operatorname{Im}f:$ $$\begin{aligned} i(b+b’)=b+b’=i(b)+i(b’),\quad i(bb’)=bb’=i(b)i(b’),
    \end{aligned}$$ es decir $i$ es homomorfismo de anillos. Ademas, $i(b)=i(b’)$ implica $b=b’,$ luego $i$ es inyectiva.
  4. Para todo $a\in A$ se verifica $(i\circ g\circ n)(a)=(i\circ g)(a+\ker f)=i(f(a))=f(a),$ por tanto, $i\circ g\circ n=f.$
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