Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$

Estudiamos un cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo conmutativo y $f$ una aplicación de $\mathbb{K}$ en $\mathbb{R}^+$ (números reales no negativos) tal que $\forall{x,y}\in\mathbb{K}$ se verifica
(a) $f(x+y)\leq\sup \{f(x),f(y)\}$
(b) $f(xy)=f(x)f(y)$
(c) $f(x)=0\Leftrightarrow{x=0}$

1. Sea $u$ el elemento unidad de $\mathbb{K}$ respecto del producto. Demostrar que $f(u)=1$.
2. Sea $A=f^{-1}\left([0,1]\right)$, demostrar que si $x,y\in A$ entonces $x+y\in A$.
3. Sea $x\in A$, demostrar que $-x\in A$ ($-x$ es el elemento simétrico de $x$ en $\mathbb{K}$ respecto de la suma).
4. Estudiar la estructura algebraica más completa de $(A,+,\cdot)$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución

1. Elijamos $x=y=u$. Entonces, aplicando (b) :

$f(uu)=f(u)f(u)\Leftrightarrow f(u)=f^2(u) \Leftrightarrow \\f(u)(1-f(u))=0 \Leftrightarrow f(u)=0 \;\vee\; f(u)=1.$

Ahora bien, como $u\neq 0$, usando (c) deducimos que $f(u)=1.$

2. Si $x,y\in A$ entonces $f(x)\in [0,1]$ y $f(y)\in [0,1]$. Por la propia definición de $f$ se verifica $f(x+y)\geq 0$ y de (a) deducimos $f(x+y)\leq\sup \{f(x),f(y)\}\leq 1,$ es decir $0\leq f(x+y)\leq 1$. En consecuencia $x+y\in f^{-1}\left([0,1]\right)=A$.

3. Tenemos $1=f(u)=f[(-u)(-u)]=[f(-u)]^2\Rightarrow f(-u)=1$. Supongamos que $x\in A$, es decir $f(x)\in [0,1]$. Entonces

$f(-x)=f[(-u)x]=f(-u)f(x)=1f(x)=f(x)\in [0,1]\Rightarrow -x\in A.$

4. Veamos que $A$ es subanillo de $\mathbb{K}$. (i) De $f(0)=0\in [0,1]$ se deduce que $0\in A$, es decir $A\neq \emptyset$. (ii) Sean $x,y\in A$, usando los apartados 2. y 3. deducimos de forma inmediata que $x-y\in A$. (iii) Sean $x,y\in A$, entonces $f(x)$ y $f(y)$ pertenecen al intervalo $[0,1]$, por tanto $f(xy)=f(x)f(y)\in [0,1]$, es decir $xy\in A$.

Dado que el producto es conmutativo en $\mathbb{K}$ también lo es en $A$. Como $f(u)=1\in [0,1]$ tenemos $u\in A$ y por tanto $A$ es anillo conmutativo y unitario. Dado que en $\mathbb{K}$ no hay divisores de cero, tampoco los hay en $A$. Concluimos que $A$ es un dominio de integridad. Sin embargo, no es cuerpo. En efecto, si $0\neq x\in A$ entonces $f(x)\in (0,1]$ y

$1=f(u)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})\Rightarrow f(x^{-1})=\dfrac{1}{f(x)}>1\Rightarrow x^{-1}\not\in A.$

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